¿Cuál es la Cayley proyectiva del plano?

Question

Se puede construir un plano proyectivo de R^n, C^n y H^n y, a continuación, la tentación de hacer lo mismo para octonions. Esto conduce a la construcción de un plano proyectivo conocido como OP^2, la Cayley proyectiva del plano.

¿Cuáles son las referencias para las propiedades de la Cayley proyectiva del plano ? En particular, me gustaría saber su (co)homología y homotopy grupos.

También, qué intuición geométrica funciona cuando se trabaja con este objeto? ¿La intuición de la real proyectiva del espacio de transferencia de bien o no la asociatividad hacer una gran diferencia? Por ejemplo, me gustaría saber por qué uno podría haber sabido que no hay OP^3.

Answer 1

Es fácil construir el octonionic proyectiva de la línea, casi de la forma habitual, gracias a us $2$-asociatividad: una sola toma el cociente de $\mathbb{S}^2$ por la relación $(x,y)\sim (1,yx^{-1})$, que resulta ser equivalente a la relación $(x,y)\sim(xy^{-1},1)$ cuando $x,$ y no son cero.

El octonionic plano no pueden ser construidos de la misma manera, porque uno tiene que lidiar con tres coordenadas. Pero se puede considerar simplemente el cociente entre el subconjunto de $\mathbb{S}^3_\bullet$ de $\mathbb{S}^3$ que consta de triples tener al menos un real de coordenadas. A continuación, los tres las relaciones de equivalencia $(1,y,z)\sim(y^{-1},1,zy^{-1})$, $(x,1,z)\sim(xz^{-1} z^{-1},1)$ y $(x,y,1)\sim(1,yx^{-1} x^{-1})$, extendió $\mathbb{R}$lineal. A partir de este la realización del avión por tres $\mathbb{R}^{16}$ gráficos es sencillo.

Creo que esta construcción se analiza en un libro de Salzmann y otros autores.

Answer 2

Una nota rápida acerca de la homotopy grupos de la Cayley plano. Mimura calculada algunos de ellos. Específicamente para i=8,9,10,...,23 calculó que $\pi_i\mathbf{CaP}^2$ es igual a Z, Z/2, Z/2, Z/24, 0, 0, Z/2, Z/120, (Z/2)$^{\oplus3}$, (Z/2)$^{\oplus4}$, Z/24$\oplus$ Z/2, Z/504$\oplus$ Z/2, 0, Z/6, Z/4, Z**$\oplus$ **Z/120$\oplus$ (Z/2)$^{\oplus2}$, respectivamente. Ver Teorema 7.2 de su 1967 papel de La homotopy grupos de Lie grupos de rango bajo:
  http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=206958
  http://projecteuclid.org/euclid.kjm/1250524375

Answer 3

Es mi entendimiento de que el octonians no son asociativas lo suficiente como para tener un plano proyectivo en el sentido usual de la palabra. Que es, te gustaría definir $\mathbb{S}P^{2}$ como la colección de Cayley líneas en $\mathbb{R}^{16}$. Sin embargo, "Cayley líneas" en $\mathbb{R}^{16}$ no tiene sentido debido a la falta de asociatividad.

Sin embargo, lo que equivale (por $\mathbb{K}P^{2}$ $\mathbb{K} \${$\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}$} ) formulaciones todavía funcionan. $K = dim_{\mathbb{R}} \mathbb{K}$.

Por ejemplo, topológicamente, $\mathbb{K}P^{2}$ se obtiene mediante la fijación de $2k$ pelota a la esfera $S^{k}$ a través de la $k$-dimensional de Hopf mapa (es decir, donde la base de la esfera es de $k$ tridimensional). Lo mismo es cierto para $\mathbb{K} = \mathbb{S}$, topológicamente. El (caja negra) el hecho de que sólo fibration con fibra $S^{7}$ y el espacio total de una esfera es el fibration $S^{7}\rightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}$ conduce al hecho de que no existe mayor de $\mathbb{S}P^n$.

A partir de esta descripción, no es demasiado difícil (utilizando las mismas técnicas que funcionan en $\mathbb{C}P^{2}$ y $\mathbb{H}P^{2}$), para demostrar que $H^{*}(\mathbb{S}P^{2}, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}[x]/x^{3}$ con $|x| = 8$.

Como otro ejemplo de un equivalente de la formulación, se puede empezar con una de $2k$-dimensional de la bola en $\mathbb{R}^{2k}$ y el cociente fuera del límite de los $k$ dimensional de Hopf mapa. Uno puede poner un especial radial de la métrica en la bola y comprobar que es bien definido y suave bajo la quotienting (no recuerdo exactamente lo que la métrica es). En esta construcción, los rendimientos de $\mathbb{K}P^2$, con la Fubini-Estudio de la métrica.

Esta construcción también funciona cuando $\mathbb{K} = \mathbb{S}$. Esta construcción es bueno porque muestra $\mathbb{S}P^2$ tiene un Fubini-Estudio de la métrica de modo que la curvatura se sitúan entre 1 y 4 y el locus corte con respecto a un punto es una $S^8$. En otras palabras, esta construcción muestra la geometría es muy similar a la de $\mathbb{K}P^2$ para la división de álgebras de $\mathbb{K}$ más de $\mathbb{R}$. También se puede utilizar esta descripción (con algo de trabajo duro, o eso me han dicho), para demostrar que $\mathbb{S}P^2$ es isométrico para el espacio homogéneo $F_{4}/Vuelta(9)$ con la normal de la métrica homogénea.

Answer 4

Hay algunos curiosos combinatoria aspectos de la real complejo - Quaternionic - y de Cayley - planos proyectivos. Un teorema de Brehm y Kuhnel afirma que 2m-dimensiones del colector de que no es una esfera no puede ser triangulados con menos de 3m+3 vértices. La igualdad impone estrictas restricciones topológicas en el colector (similares a los conocidos restricciones para "apretado incrustaciones.") No se conocen las triangulaciones de RP^2 con 6 vértices, de RC^2 con 9 vértices de RH^2 (probablemente) con 15 vértices y la búsqueda de un 27 vértice triangulaciones de RO^2 está abierto. Ver U. Brehm y W. Kühnel, 15-vértice triangulaciones de un 8-colector, Matemáticas. Annalen 294, 167-193 (1992) y las referencias citadas allí. Que yo recuerde, todos los 4 planos proyectivos tienen importantes apretado suave incrustaciones ("Veronese"). Aquí hay 2 enlaces a un papel y página web.

Answer 5

Como recuerdo, el de Cayley plano proyectivo es doloroso para construir, pero es una 2-celda complejo, con una de 8 celdas y de 16 células. El cohomology es Z[x]/(x^3), donde x tiene el grado 8, como era de esperar. Su homotopy es inaccesible, ya que está a sólo dos esferas pegadas, por lo que sería más o menos tiene que saber la homotopy grupos de las esferas, a saber. La fijación de mapa de los 16-cell es un mapa de invariante de Hopf uno, de S^15 a S^8, el último elemento.

Creo que la verdadera razón por la que el Cayley proyectiva del plano que existe es porque cualquier subalgebra de la octonions que es generado por 2 elementos es asociativa. Que es justo lo suficiente asociatividad para construir el plano proyectivo, pero no suficiente para la construcción proyectiva 3-espacio. Y esta es la razón por la que usted no debe esperar que haya un plano proyectivo para la sedonions (el 16 dimensiones álgebra que es el octonions lo que el octonions son los cuaterniones), porque cada vez que usted hace la duplicación de la construcción se pierden más y, en particular, no es cierto que cada subalgebra de la sedonions que es generado por 2 elementos es asociativa.
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