Polinomio irreducible en$\mathbb F_{256}$.

Question

Deje que$\mathbb F_{256}$ sea el campo finito con$2^8 = 256$ elementos. Considere el polinomio sobre este campo $$ x ^ 2 + x + 1. $$ Quería saber si es irreductible, por lo que lo calculé para todos los valores$0, \ldots, 256$ y consideré el resto módulo 256, encontré que no se evalúa como$0$, así que supongo que es irreducible, pero ¿es este un método válido?

Answer 1

Como "Yo", observó, que aparentemente están reconstruyendo mal $\mathbb F_{2^8}$ como ser isomorfo a $\mathbb Z/2^8$, que no lo es. Por ejemplo, este último tiene muchas cero divisores, y está lejos de ser un campo.

También, en cualquier caso, para los humanos-trabajo ejecutable comprobación de 256 casos suele ser un terrible método. En su lugar, buscar algún tipo de estructura o significado. Aquí, el polinomio $x^2+x+1$ es la tercera cyclotomic polinomio $(x^3-1)/(x-1)$, y tiene la propiedad de que una raíz de (en cualquier campo) ha multiplicativo orden de $3$. Por lo tanto, si hay una raíz, por Lagrange del teorema $3$ divide al orden del grupo multiplicativo. Por el contrario, al del teorema de Cauchy, si $3$ divide ese orden, entonces la ecuación tiene una raíz. Por lo tanto, ella tiene una raíz en el campo con $2^8$ elementos si y sólo si el grupo multiplicativo ha pedido divisible por $3$. Desde $2^8-1=255=5\cdot 51=5\cdot 3\cdot 17$, no es un factor de $3$, y el polinomio tiene una raíz, y es reducible.

Answer 2

El método que se debe citar el trabajo, debido a que el polinomio es de grado $2$ y, por tanto, todos los factores se corresponden a las soluciones de la ecuación de $x^2+x+1=0$. Pero tienes que hacerlo bien y trabajar en el campo de $\mathbb F_{256}$, lo que significa que usted debe comenzar por la construcción de ese campo, etc. Trabajando a través de los enteros modulo de 256 (es decir,$\mathbb Z/256\mathbb Z$) no lo hacen.

Esta es mi sugerencia para evitar este trabajo: el polinomio es irreducible sobre$\mathbb F_2$, pero se convierte en reducible $\mathbb F_4$ y extensiones de los mismos. Desde $256 = 2^8$ $8$ es incluso, contiene $\mathbb F_4$ como un subcampo y, por tanto, el polinomio es reducible.

Answer 3

Primero: buscar raíces para deducir un polinomio en algún campo es irreducilbe funciona siempre que el grado de polinomios$\,\le 3\,$.

Segundo: el polinomio$\,x^2+x+1\,$ se define sobre$\,\Bbb F_2\,$ y es irreducible en este campo. Ya que$\,2\mid 8\;$, tenemos ese$\,\Bbb F_{2^2}\le\Bbb F_{2^8}\,$, y esto significa que todas las raíces de$\,x^2+x+1\,$ ya están en$\,\Bbb F_{2^8}\,$, por lo que no verificaste correctamente o bien, como comente las sugerencias anteriores, confundió$\,\Bbb F_{256}\,$ con$\,\Bbb Z_{256}\,$.

Answer 4

El polinomio que escribes es el tercer polinomio ciclotómico. Es reducible en cualquier campo finito$\Bbb F_q$ donde$3$ divide el pedido$q-1$ del grupo multiplicativo. En el caso$q=256$ encontramos que$3$ divide$255$, por lo que el polinomio se divide en$\Bbb F_{256}[x]$.