Dividiendo simétricamente un octágono en cuadriláteros

Question

Me pregunto si es posible dividir un octágono en un número finito de cuadriláteros, de modo que el resultado sea simétrico desde las 8 direcciones (lados o puntos). Hay una condición: cualquier punto nuevo que se cree debe estar en el interior del octágono (es decir, no se permiten puntos nuevos en los bordes del octágono).

La figura a continuación ilustra 4 de mis intentos. La mayoría de ellos (el $1^{ro}$, $2^{do}$ y $4^{to}$) no son simétricos desde las 8 direcciones, por lo que no son una solución válida. El tercero es simétrico, pero crea puntos en los bordes.

Me intriga cómo se podría demostrar que existe (o no) una solución a este problema?

Answer 1

Estoy asumiendo que deseas simetría rotacional de grado 8. (Si lo que deseas es la reflexión a lo largo de los 4 ejes diferentes, entonces avísame). Tal configuración no es posible.

Recuerda que los ángulos en un octágono suman a $180^\circ \times 6$, y los ángulos en un cuadrilátero suman a $180^\circ \times 2$.

Dado que solo podemos agregar puntos internos, nota que agregar un punto aumentaría la suma de los ángulos en $360^\circ$. Si agregamos un punto que no está en el centro, entonces por simetría rotacional, debemos agregar los 8 puntos simétricos.

Al contar doblemente los ángulos, esto muestra que debemos tener $8k+3$ o $8k+4$ cuadriláteros.

Sin embargo, por la simetría rotacional de la figura, debe haber $8l$ de cuadriláteros de $8l+1$.

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