Encuentra un entero$a$ tal que$a\sqrt{2} $ tenga una parte decimal dada

Question

Supongamos que quiero encontrar números enteros que, cuando lo multiplique por un número irracional (por ejemplo,$\sqrt{2}$), su parte decimal contenga 0.14159 ... como dígitos iniciales. ¿Cómo los encuentro? ¿Hay un patrón para los dígitos de tales números?

Answer 1

Es bastante fácil de calcular, $\sqrt{2}$ arbitrariamente de alta precisión. Véase, por ejemplo, esta página de presentación de informes un poco más de un millón de dígitos.

Si estamos buscando un fijo inicial de cadena de longitud $n$, entonces por supuesto que si puede ser que se encuentra en $\sqrt{2}$ más adelante, que la cadena puede ser traído a la parte delantera multiplicando por el correspondiente potencia de diez. Uno tiene entonces (no necesariamente mínimo) solución para $a$. En este caso la cadena "14159" se encuentra siete veces en los primeros millones de dígitos.

Encontrar el mínimo valor de $a$ parece ser un difícil reto computacional.

Answer 2

El teorema de la equidistribución dice que si$\alpha$ es un número irracional, entonces la secuencia de partes fraccionarias,$k\alpha-\lfloor k\alpha\rfloor$, para$k\in\mathbb{N}$, se equidistribuye en$[0,1]$. En particular, el intervalo$(0.14159,0.14160)$, en el límite, se visitará en promedio una vez cada$100{,}000$ múltiplos. Más generalmente, cualquier cadena de apertura de$n$ dígitos ocurrirá en promedio una vez cada$10^n$ múltiplos.

Answer 3

Sugiero el siguiente enfoque. Supongamos que tenemos un número irracional $\alpha$ y quiere tener un poco de $n\in\mathbb N$ de manera tal que la parte fraccionaria de $n\alpha$ es igual a algún objetivo $x$ con cierta precisión.

1. Empezar con $n=0$.
2. Tome $q$, el denominador de la primera convergente de $\alpha$. Encontrar el tamaño de paso: número de $(-0.5,0.5]$ equivalente modulo 1 para la parte fraccionaria $\{q\alpha\}$.
3. Agregar paso a $n\alpha$ (es decir, agregar $q$$n$) tantas veces como sea necesario para llegar a $\{n\alpha\}$ tan cerca de la meta como sea posible, sin envolver alrededor de 1. Por ejemplo, si el tamaño de paso es de 0,13 y el objetivo es de 0.69, a continuación, añadir 5 veces. Puede ser (como lo hace con $\alpha=\sqrt2$$x=0.14159$) que hacer un paso nos lleva más lejos de la meta que estábamos, entonces no lo hacen en absoluto, es decir, hacer 0 pasos.
4. Tome la siguiente convergente y repetir.
5. Pasar a la siguiente convergente, y continuar de esta manera hasta llegar a $x$ con la precisión deseada.

Este método se garantiza que funcione en cualquier irracional $\alpha$ y no se basaron en la hipótesis de normalidad. También, es bastante rápido. Denominadores siempre crecer de manera exponencial, o más rápido, así que usted necesitará en la mayoría de las $O(n)$ convergents para lograr la precisión de $n$ dígitos. Como para encontrar el mínimo posible solución, creo que no garantiza que (por qué?), pero espero que caiga razonablemente cerca, es decir, menos de un orden de magnitud de distancia.

Upd. He hizo algunas pruebas y he aquí, se hace encontrar el mínimo de la solución más a menudo que no.

$$\begin{array}{lll} \text{Goal} & n\text{(my method)} & n\text{(min.)} \\ 0.14159 & 176827 & 96045 \\ 0.71828 & 59937 & 59937 \\ 0.73205 & 28067 & 28067 \\ 0.61803 & 2126 & 2126 \\ 0.33333 & 76162 & 76162 \\ \end{array}$$

Ahora, ¿qué acerca de la complejidad?

$$\begin{array}{lll} \text{Goal} & n & \text{Convergents used} \\ 0.1415 & 9522 & 12 \\ 0.14159 & 176827 & 15 \\ 0.141592 & 1118491 & 17 \\ 0.1415926 & 8880289 & 19 \\ \end{array}$$

Answer 4

Podemos mostrar que no existe un entero tal que$a \cdot \sqrt{2}$ tenga la parte decimal completa de$\pi$. Supongamos que hay un entero$a$ tal que$a \cdot \sqrt{2} = B + \pi -3$, donde$B \in \mathbb{Z}$. Entonces, también tendríamos ese$a \cdot \sqrt{2} + 3 -B = \pi$. Pero luego note que el LHS es un número algebraico, mientras que el RHS es un número trascendental. Contradicción.