Determine si$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x}$ converge uniformemente en$(1,\infty)$

Question

Determine si$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x}$ converge uniformemente en$(1,\infty)$.

Mi intento: al intentar usar la prueba M de Weierstrauss obtengo$$0\leqslant\|f_n(x)\|_\infty=\sup_{x\in (1,\infty)}|\frac{1}{n^x}|\leqslant\frac{1}{n}=M_n$$ But by definition, $ \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty M_n = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n} $ diverges. Así que la prueba M de Weierstrauss no es útil aquí. ¿Hay alguna manera de que pueda usar el principio de Cauchy uniforme? Gracias por la ayuda.

Answer 1

Idea Si converge uniformemente, entonces$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ tiene que converger.

Insinuación

Supongamos que converge uniformemente. Tomemos cualquier$\varepsilon > 0$. Luego hay algunos$N$ tales que$\forall x \in (1, \infty):\sum_{n=N}^\infty\frac{1}{n^x}<\varepsilon$. Encontremos$M > N$ tal que$\sum_{n=N}^M\frac{1}{n}>2\varepsilon.$

Tiro final

Es obvio que si$x \rightarrow 1$ entonces$\sum_{n=N}^M\frac{1}{n^x}\rightarrow \sum_{n=N}^M\frac{1}{n} > 2\varepsilon$ (ya que todo es finito). Pero, ¿cómo puede ser?