Dado$a_1,a_{100}, a_i=a_{i-1}a_{i+1}$, ¿qué es$a_1+a_2$?

Question

Se me ha dado el siguiente puzzle

Deje $a_1, a_{100}$ ser dado de números reales. Deje $a_i=a_{i-1}a_{i+1}$$2\leq i \leq 99$. Supongamos que el producto de la primera $50$$27$, y el producto de todos los $100$ números también es $27$.

Encontrar $a_1+a_2$.

He intentado lo siguiente, mirando a la secuencia por un momento podemos ver: $$ a_2=a_1\, a_3\\ a_3=a_2\,a_4\\ \vdots\\ a_{99}=a_{98}\,a_{100} $$ Por lo $$a_2=\frac 1 {a_{99}} \prod_i a_i =\frac {27}{a_{99}}$$

Mirando a los otros elementos, nos encontramos con que $$a_3=\frac {a_2} {a_1}, a_4=\frac {a_2}{a_1 a_2}, a_5=\frac {a_2}{a_1a_2a_3},\dots , a_n=\frac {a_2}{\prod_{i=1}^{n-2} a_i}$$

A continuación, $$27=\prod_i a_i=\prod_{1\leq i\leq 100} \frac {a_2}{\prod_{k=1}^{i-1}a_i}$$

El último producto que creo que es mucho más complicado de lo que debería haber recibido...

Alguien ha encontré con este puzzle antes?

Answer 1

Tenga en cuenta que desde$a_i=a_{i-1}a_{i+1}$, entonces, para$i\geqslant 3$, también tenemos$a_{i-1}=a_{i-2}a_i$. Enchufe esto en la primera fórmula, tenemos$a_i=a_{i-2}a_ia_{i+1}\Rightarrow a_{i-2}a_{i+1}=1\Rightarrow a_{i+3}=\frac{1}{a_i}.$

Entonces, la secuencia está en la forma de$a_1=a,a_2=ab,a_3=b,a_4=\frac{1}{a},a_5=\frac{1}{ab},a_6=\frac{1}{b},a_7=a,\dots$.

$a_{i+6}=a_i$. Y entonces $a_{50}=ab$. Por lo tanto,$a_{100}=\frac{1}{a}$. También, $1=\prod_{i=51}^{100}=\frac{b}{a}\Rightarrow a=b$.

Answer 2

Dicha secuencia es periódica con una duración del período 6, un ciclo$$ A, B, \frac{B}{A}, \frac{1}{A}, \frac{1}{B}, \frac{A}{B} $ $ Tenga en cuenta que el producto de los seis es$1.$ Por lo tanto, el producto de los primeros 96 es uno, y 27 es$\frac{B^2}{A}.$ el producto de los primeros 48 es uno, y 27 también es$AB.$ Eso es$$ 27 A = B^2, $ $$$ 27 = AB.$ $ De$$ 729 = 27AB = (27A)B = B^3$$ I get $ 729 = B ^ 3 $ y$$ B = 9. $ $ Luego$$ A = 3. $ $ La suma es$$ A + B =12. $ $ El ciclo de longitud seis se convierte en$$ 3, \; 9, \; 3, \; \frac{1}{3}, \; \frac{1}{9}, \; \frac{1}{3}. $ $ Poner dos juntos muestra$$ 3, \; 9, \; 3, \; \frac{1}{3}, \; \frac{1}{9}, \; \frac{1}{3}, \; 3, \; 9, \; 3, \; \frac{1}{3}, \; \frac{1}{9}, \; \frac{1}{3} $ $

En la notación original, con ciclos de seis multiplicando a uno, tenemos$$ a_{49} a_{50} = a_1 a_2 = 3 \cdot 9 = 27. $ $ También$$ a_{97} a_{98} a_{99} a_{100} = a_1 a_2 a_3 a_4 = 3 \cdot 9 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3} = 27. $ $

Answer 3

Ya que el producto de todos los números es distinto de cero, los números son todos distintos de cero, lo que significa que podemos escribir como $a_i=3^{b_i}$ (donde $b_i$ es potencialmente complejo, aunque lo veremos nunca lo es). La recursividad se traduce a $b_{i+1}=b_i-b_{i-1}$, lo que implica $b_{i+3}=-b_i$$i=1,2,\ldots,97$, por lo que la secuencia de $100$ $b_i$'s es justo

$$b_1,b_2,b_3,-b_1,-b_2,-b_3,b_1,b_2,b_3,\ldots,b_1,b_2,b_3,-b_1$$

El producto de la primera $50$ $a$'s corresponde a la suma de los primeros $50$ $b$'s, que, después de las cancelaciones, es sólo $b_1+b_2$, por lo que tenemos

$$b_1+b_2=3$$

Asimismo, la suma de todos los $100$ $b$'s se reduce a $b_2+b_3$, por lo que tenemos

$$b_2+b_3=3$$

Poner esto juntos con $b_3=b_2-b_1$, nos encontramos con $b_1=1$$b_2=2$, lo que significa que

$$a_1+a_2=3^1+3^2=12$$