Digamos que para los coeficientes$a_{n} \in \mathbb{R}$, tenemos ese$$ \sum_{n=1}^{+ \infty} a_{n} \frac{1-e^{-n^{2}t}}{n} = 0$ $ para cada$t > 0$. ¿Esto implica que$a_{n} = 0$ para cada$n \in \mathbb{N}$?
Respuesta
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Sí. En primer lugar, es claro que $a_n/n$ es acotado, ya que la serie converge. Por lo $\sum a_n e^{-n^2t}/n$ es absolutamente convergente. Por otra parte, se desvanece en el límite de $t\to\infty$, con lo que conseguimos $\sum a_n/n=0$ (esta suma podría ser sólo condicionalmente convergente). Por lo tanto, podemos restar esa parte, y ahora tenemos $$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n e^{-n^2t}}n=0$$ for all $t>0$. Put $z=e^{-t}$. Entonces este es $$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n z^{n^2}}n=0$$ for all $z\in(0,1)$. Entonces esto es por la continuación analítica para todos compleja $z$$|z|<1$, y la teoría general de energía de la serie ahora implica que $a_n=0$ todos los $n$.
