Lo que tengo hasta ahora. Hay${14 \choose 2}$ formas de elegir un par que no se servirán juntos. Si dos miembros se niegan a servir juntos, entonces hay 12 miembros restantes del club para colocar en 3 posiciones distinguibles. Esto se puede hacer en${\frac {12!}{(12-3)!}}$ maneras. Multiplica${14 \choose 2}$. ${\frac {12!}{(12-3)!}}$ = 120,120.
Respuestas
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Ordene a tres de ellos como presidente, vicepresidente y tesorero ($_{14}P_3$) y reste los arreglos que tienen esas dos personas (llamémosles Statler y Waldorf). Hay$6$ formas posibles en que Statler y Waldorf podrían llenar las oficinas, y$12$ maneras cada una para llenar la tercera oficina del grupo restante.
Asi que, $14 \cdot 13 \cdot 12 - 72 = 2112$.
N. F. Taussig
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Como he mencionado en los comentarios, el par en particular de la gente que no va a servir juntos es conocido, por lo que no necesitamos elegir un par que no va a servir juntos.
Juan ha proporcionado una Inclusión-Exclusión en el argumento. Aquí hay otro método.
Consideramos los casos.
Caso 1: Ninguna de las dos personas que no sirven juntos se selecciona para una oficina.
Eso nos deja con doce personas de las cuales seleccionar a los oficiales. Hay doce elecciones para presidente, once opciones para vice-presidente, y diez opciones para el tesorero de un total de $12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320$ formas para llenar la oficina sin necesidad de utilizar cualquiera de los miembros de la pareja que no va a servir juntos.
Caso 2: Exactamente uno de los pares que no va a servir juntos es seleccionado para ocupar un cargo.
Hay dos maneras de seleccionar exactamente un miembro de la pareja que no va a servir para mantener la oficina y tres maneras de seleccionar la oficina que la persona tiene. Eso nos deja con doce personas que pueden llenar los dos restantes oficinas. Pueden ser seleccionados en $12 \cdot 11$ maneras. Por lo tanto, no se $2 \cdot 3 \cdot 12 \cdot 11 = 792$ formas de seleccionar a los oficiales si exactamente uno de los miembros de la pareja que no va a servir juntos ocupa un cargo.
Total: Puesto que los dos casos son mutuamente disjuntas, el número de maneras en las oficinas puede ser llenado si un determinado par de la gente no va a servir juntos es $1320 + 792 = 2112$, como Juan encontrado.
