Si usted downvote por favor, deje algunos comentarios constructivos.
Me gustaría comparar y visualizar/ganancia de conocimiento acerca de los ceros de dos funciones, $F(s)$ e $G(s).$ $\pi(m)$ es la principal función de conteo.
$$F(s)=\sum_{m=2}^\infty \pi(m)^{-s}=\sum_{n=1}^\infty n^{-s} (p_{n+1}-p_n)= \sum_{n=1}^\infty p_{n+1} (n^{-s}-(n+1)^{-s})\\ =\sum_{n=1}^\infty n \ln n (1+o(1)) (s n^{-s-1}+O(s(s+1)n^{-s-2}).$$
Por lo tanto converge y es analítica para $\Re(s) > 1$ y como $s \to 1,$ $F(s) \sim -s\zeta'(s) \sim \frac{1}{(s-1)^2}.$
Para la continuación analítica bajo la humedad relativa, $n=\pi(p_n) = Li(p_n)+O(p_n^{1/2+\epsilon}),$ así
$p_n = Li^{-1}(n+O(n^{1/2+\epsilon}))=Li^{-1}(n)+O(n^{1/2+\epsilon}),$
y,
$$F(s)-s\sum_{n=1}^\infty n^{-s-1} Li^{-1}(n)$$ is analytic for $\Re(s) > 1/2.$
Así que ahora la pregunta es, ¿cuál es la asintótica de expansión de $Li^{-1}?$
Es el resto $O(x^a)$ con el resto $a<1?$
Después de continuación analítica donde no $F(s)=0?$
¿Dónde se $G(s)=0?$
$$G(s)=\sum_{n=1}^\infty p_nn^{-s}= \frac{2}{1^s}+\frac{3}{2^s}+\frac{5}{3^s}+\frac{7}{4^s}+\frac{11}{5^s}+... ,$$ where $p_n$ es el n-ésimo primo.
Parcelas sería preferible.
Hay literatura en $G(s)?$
Gracias.
