Identidades clave en la prueba del teorema de muestreo opcional.

Question

Deje $(\Omega,\mathscr{F},\mu)$ ser $\sigma$-finito medir el espacio, deje $(\mathscr{F}_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ser una filtración de la sub-sigma-álgebras de $\mathscr{F}$, vamos a $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ser un submartingale en relación a $(\mathscr{F}_n)_{n\in\mathbb{N}}$, y deje $\sigma$ e $\tau$ estar delimitado los tiempos de parada (en relación al $(\mathscr{F}_n)_{n\in\mathbb{N}}$) tal que $\color{red}{\sigma\leq\tau\leq N}$. El Teorema de Muestreo Opcional estados que $$ \int(u_\sigma-u_\tau)d\mu\leq0. $$ Una manera de demostrar que esto es el uso de la clave de identidades $$ \color{black}{\int(u_\sigma-u_\tau)d\mu} =\color{blue}{\int\sum_{n=\sigma(w)}^{\tau(w)-1}\big(u_n(w)-u_{n+1}(w)\big)\mu(dw)} =\color{verde}{\sum_{n=0}^{N-1}\int(u_n-u_{n+1})1_{[\sigma=n]\cap[\tau>n]}d\mu}. $$ La identidad negra=azul es fácil. Sin embargo, he estado luchando con azul-->verde. Aunque parece simple, no pude encontrar una manera rigurosa para establecer esto.

Mi pregunta: ¿hay una manera rigurosa para establecer el azul=verde identidad? Supongo que hay algunos telescópica aquí, pero realmente no puede encontrar una manera.

Cualquier ayuda/sugerencia es muy apreciada.

Answer 1

La ecuación no es cierto. Considerar la submartingale $u_n := n$ y algunos tiempos de parada $0 \leq \sigma < \tau \leq N$. El lado derecho de la ecuación es igual a

$$\int u_{\sigma}-u_{\tau}) \, d\mu = \int (\sigma-\tau) \, d\mu \tag{1}$$

mientras que el lado derecho de la ecuación es igual a

\begin{align*} \sum_{n=0}^{N-1} \int (u_n-u_{n+1}) 1_{\{\sigma=n\}} 1_{\{\tau>n\}} \, d\mu &\stackrel{\sigma < \tau}{=} \sum_{n=0}^{N-1} \int (u_n-u_{n+1}) 1_{\{\sigma=n\}} \, d\mu \\ &= \int (u_{\sigma}-u_{\sigma+1}) \, d\mu \\ &= \int (\sigma- (\sigma+1)) \, d\mu = - \mu(\Omega). \tag{2} \end{align*}

En general, $(1)$ falla a la igualdad de $(2)$; considerar por ejemplo, determinista de los tiempos de parada $\sigma := 2$ e $\tau := 4$.

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Sin embargo, la ecuación siguiente es cierto:

$$\int u_{\sigma}-u_{\tau}) \, d\mu = \sum_{n=0}^{N-1} \int (u_n-u_{n+1}) 1_{\{ \color{red}{\sigma \leq n}\} \cap \{\tau>n\}} \, d\mu \tag{3}$$

El acotamiento de $\tau$ implica que la suma de$\sum_{n=\sigma(\omega)}^{\tau(\omega)-1}$ es una suma finita: hay en la mayoría de las $N-1$ términos a tratar. Esto significa, en particular, que no vamos a necesitar ningún límite de teoremas (como el teorema de convergencia dominada) para probar la identidad que usted está buscando.

Desde $\tau \leq N$ podemos escribir

$$\sum_{n=\sigma(\omega)}^{\tau(\omega)-1} (u_n(\omega)-u_{n+1}(\omega)) = \sum_{n=0}^{N-1} (u_n(\omega) - u_{n+1}(\omega)) 1_{\{n<\tau(\omega)\}} 1_{\{n \geq \sigma(\omega)\}}.$$

Tomando la expectativa con respecto a $\mu$ da inmediatamente $(3)$.