Resuelva $\lim _{t\to 0}\left(\int _t^{2t}\:\left(\frac{e^{2x}-1}{x^2}\right)dx\right)$

Question

$$\lim _{t\to 0}\left(\int _t^{2t}\:\left(\frac{e^{2x}-1}{x^2}\right)dx\right)$$

Hoy me han hecho esta pregunta en el examen de matemáticas y no tenía ni idea de cómo resolverla. He mirado todos mis apuntes y he intentado buscar una solución en Internet, pero no he encontrado nada. Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Ampliar $e^{2x}$ como:

$$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + ...$$

$$\frac{e^{2x}-1}{x^2} = \frac{2}{x} + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3 x}{3!} + ...$$

Integrando la expresión anterior y aplicando los límites se obtiene

$$2 \ln(2)$$

como respuesta.

He omitido los detalles para que usted los resuelva.

¡Salud!

Answer 2

$$e^{2x}-1=\sum_{k=0}^\infty\frac{(2x)^k}{k!}-1=\sum_{k=1}^\infty\frac{(2x)^k}{k!}$$ $$\begin{align} \int _t^{2t}\left(\frac{e^{2x}-1}{x^2}\right)dx &=\int _t^{2t}\left(\frac1{x^2}\sum_{k=1}^\infty\frac{(2x)^k}{k!}\right)dx\\ &=\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{2^k}{k!}\int _t^{2t}x^{k-2}dx\right)\\ &=2\int _t^{2t}\frac1xdx+\sum_{k=2}^\infty\left(\frac{2^k}{k!}\int _t^{2t}x^{k-2}dx\right)\\ &=2[\ln{|x|}]_t^{2t}+\sum_{k=2}^\infty\left(\frac{2^k}{k!}\left[\frac1{k-1}x^{k-1}\right]_t^{2t}\right)\\ &=2\ln{|2t|}-2\ln{|t|}+\sum_{k=2}^\infty\left(\frac{2^k}{k!}\cdot\frac{(2t)^{k-1}-t^{k-1}}{k-1}\right)\\ &=2\ln{(2)}+\sum_{k=2}^\infty\left(\frac{(2t)^{k-1}}{k!}\cdot\frac{2^k-2}{k-1}\right)\\ &=2\ln{(2)}+\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{(2t)^k}{(k+1)!}\cdot\frac{2^{k+1}-2}{k}\right)\\ &=2\ln{(2)}+2\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{(4t)^k}{k\cdot(k+1)!}\right)-2\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{(2t)^k}{k\cdot(k+1)!}\right)\\ \end{align}$$ Tomando ahora el límite como $t\to0$ $$\begin{align} \lim_{t\to0}\left(\int _t^{2t}\left(\frac{e^{2x}-1}{x^2}\right)dx\right) &=\lim_{t\to0}\left(2\ln{(2)}+2\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{(4t)^k}{k\cdot(k+1)!}\right)-2\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{(2t)^k}{k\cdot(k+1)!}\right)\right)\\ &=\boxed{2\ln{(2)}}\\ \end{align}$$