Estoy luchando para encontrar (o al menos establecer algunos límites) $$\arg \max_x \log(1+x)(1-I_x(a,b-a)),$$ donde $I_x(a,b-a)$ es la regularización de la función beta incompleta, yo.e
$$I_x(a,b-a) = \frac {\int_0^x t^{a-1} (1-t)^{b-a-1}dt}{B(a, b-a)}$$
Para $0<x<1$ con $a>1,b-a>1$.
Me he dado cuenta de que esto puede ser representado como el producto de las siguientes integrales:
$$\arg \max_x \int_0^x \frac{\mathrm{d}\tau}{1+\tau} \cdot \int_x^1 \frac{\tau^{a-1}(1-\tau)^{b-a-1}}{B(a,b-a)}\mathrm{d}\tau $$
Sin embargo, no ayuda mucho a obtener el máximo ni el arg max. He intentado a través de la de primer orden de la derivada, trató de enlazar con la media aritmética-media geométrica, e incluso trató de aplicar Jenssen la desigualdad, sin embargo, sin ningún éxito.
Tengo una corazonada de que desde el primer término no tiene una explícita máximo, el único término que los impactos en la máxima es la segunda integral, que alcanza un máximo en $x\to \frac{a-1}{b-2}$, pero no tuvo éxito para demostrar que esta obligado.
Tal vez L'hoptial regla puede ayudar a obtener algunas ideas sobre esto?
Cualquier idea, ayuda, y las pistas son muy apreciadas.
