cómo encontrar la ecuación de una circunferencia dados los puntos de la misma

Question

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos $P(-6,5)$ , $Q(2,1)$ y tiene su centro en la línea $y=x+4$

Agradecería cualquier trabajo dado, ya que no entiendo cómo hallar la ecuación del círculo sólo con esta información.

Editar: este post fue marcado como falto de detalles/contexto, sin embargo copié la pregunta exactamente de la misma manera en que se me dio la pregunta. No he omitido nada y no se han dado detalles adicionales.

Answer 1

Una pista:

Como el centro de la circunferencia estará también en la bisectriz de los dos puntos dados, se pueden encontrar las coordenadas como la intersección de la bisectriz y $y=x+4$ .

El radio sería la distancia del centro a cualquiera de los puntos dados.

_{<strike>P.D. En este caso, la bisectriz perpendicular es diferente de la línea dada. Si no fuera así, los puntos dados serían los extremos de un diámetro, a partir del cual se podría encontrar fácilmente el centro que se encuentra a mitad de camino. </strike>(Gracias a @TonyK por señalar la inexactitud)}

_{P.D. Si la bisectriz perpendicular es la recta dada, entonces no habrá una única circunferencia que satisfaga las condiciones, sino que obtendrás una familia de circunferencias.}

Imagen para la parte P.S., mostrando dos de los posibles círculos si la línea dada fuera también una bisectriz perpendicular de los puntos dados

Answer 2

La ecuación del círculo es $$(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2$$ donde $(a,b)$ es el centro de un círculo y $r$ radio de un círculo. Dado que el cenetro está en una línea $y=x+4$ tenemos $b=a+4$ por lo que tenemos ahora:

$$(x-a)^2+(y-a-4)^2 = r^2$$

Ahora pon ambos puntos en esta ecuación y obtienes:

$$ P: \;\;\;(-6-a)^2+(1-a)^2 = r^2$$

y

$$ Q: \;\;\;(2-a)^2+(-a-3)^2 = r^2$$

Ahora resuelve este sistema...

Answer 3

Que el centro esté en $(t,t+4)$ . Expresamos que la circunferencia pasa por los puntos dados:

$$r^2=(t+6)^2+(t+4-5)^2=(t-2)^2+(t+4-1)^2.$$

Después de la simplificación,

$$8t+24=0$$ y ya casi has terminado.

$t=-3$ , centro $(-3,1)$ , radio $5$ .

Answer 4

Que el centro sea $C(x_0,y_0)$

Como P y Q se encuentran en el círculo, CP = CQ = radio del círculo. $$CP = CQ$$ $$CP^2 = CQ^2$$ $$(x_1-(-6))^2 + (y_1 -5)^2 = (x_1-2)^2 + (y_1 -1)^2$$ $$x_1^2 + 12x_1 +36 + y_1^2 - 10y_1 +25 = x_1^2 -4x_1 +4 + y_1^2 - 2y_1 +1$$ $$12x_1+36 - 10y_1 +25 = -4x_1 + 4 -2y_1 + 1$$ $$16x_1 - 8y_1 +56 = 0$$ o $$ 2x_1 - y_1 + 7 =0$$ También tenemos $$y_1 = x_1+4$$ Así que, $$2x_1 - x_1 - 4+ 7 = 0 $$ $$x_1 = -3$$ $$y_1 = x_1+4 = 1$$ Centro $C = C(-3,1)$

Radio $r = CQ = \sqrt{(-3-2)^2 + (1-1)^2} = 5$$

Así, la ecuación es, $$(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = r^2$$ o $$(x+3)^2+(y-1)^2 = 25$$

Answer 5

Considera la circunferencia $C$ $$ (x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 25 $$ Tenemos que $P,Q\in C$ (sólo sustituyendo las coordenadas). Y el centro es $(-3,1)$ que está en la línea $y=x+4$ . Desde $P,Q\in C$ el centro debe estar en la línea perpendicular ( $-2x+y=7$ ) a la que une $P,Q$ . Como la intersección entre las dos rectas que hemos considerado es un punto, deducimos que la solución es única y es la que hemos propuesto.