Mayor valor de determinante

Question

Si $\alpha,\beta,\gamma \in [-3,10].$ entonces el mayor valor del determinante

$$ \begin{vmatrix}3\alpha^2&\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2&\gamma^2+\alpha\gamma+\alpha^2\\\\ \alpha^2+\alpha\beta+\beta^2& 3\beta^2&\gamma^2+\beta\gamma+\beta^2\\\\ \alpha^2+\alpha\gamma+\gamma^2& \beta^2+\beta\gamma+\gamma^2&3\gamma^2\end {vmatrix} $$

Intente: estoy intentando dividir ese determinante en producto de 2 determinantes pero no puedo romperlo.

¿Podría alguien ayudarme en esta pregunta? Gracias.

Answer 1

La matriz es el producto de $AB$, donde $$A=\begin{pmatrix}\alpha^2&\alpha&1\\\beta^2&\beta&1\\ \gamma^2&\gamma&1\end{pmatrix}\mbox{ y }B=\begin{pmatrix}1&1&1\\\alpha&\beta&\gamma\\ \alpha^2&\beta^2&\gamma^2\end{pmatrix}.$$ Por lo que su determinante es el producto de $\det(A)$ e $\det(B)$. La matriz de $A$ puede ser obtenida a partir de a$B$ intercambiando la primera y la tercera fila y, a continuación, la transposición del resultado. Por lo tanto, $\det(A)=-\det(B)$ y el determinante de la matriz dada es $-\det(B)^2$. Ésta no es una expresión positiva y su el valor máximo $0$ se alcanza si y sólo si $\det(B)=0$.

Ahora $B$ es una matriz de Vandermonde y su determinante es conocido por ser $(\gamma-\beta)(\gamma-\alpha)(\beta-\alpha)$. Este determinante es cero y por lo tanto el dado determinante alcanza su valor máximo si y sólo si dos o más de los números de $\alpha,\beta,\gamma$ son iguales.

Answer 2

Consejo: Usando las reglas de SARRUS obtenemos después de simplificar $$ - \ left (\ alpha- \ gamma \ right) ^ {2} \ left (\ beta- \ gamma \ right) ^ {2} \ left (\ beta- \ alpha \ right) ^ {2} $$

Answer 3

Ser $3 \times 3$ determinante, es demasiado pequeño como para ser atacados con técnicas sofisticadas, pero también demasiado complicadas para ser atacado por la fuerza bruta. Vamos a calcular con sucesivas simplificaciones de sus filas y columnas. En la siguiente, $R_i$ e $C_j$ significa que la $i$-ésima fila y la $j$-ésima columna, y $[R_i \to aR_i + bR_j]$ significa sustituir el $i$-ésima fila con la combinación lineal $aR_i + bR_j$ donde $a$ e $b$ son los números. El cálculo, entonces, va de la siguiente manera:

$$\begin{align*} & \begin{vmatrix} 3\alpha^2 & \beta^2 + \alpha \beta + \alpha^2 & \gamma^2 + \alpha \gamma + \alpha^2 \\ \alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2 & 3\beta^2 & \gamma^2 + \beta \gamma + \beta^2 \\ \alpha^2 + \alpha \gamma + \gamma^2 & \beta^2 + \beta \gamma + \gamma^2 & 3\gamma^2\end{vmatrix} = [R_2 \a R_2 - R_3] = \\[10] & \begin{vmatrix} 3\alpha^2 & \beta^2 + \alpha \beta + \alpha^2 & \gamma^2 + \alpha \gamma + \alpha^2 \\ (\beta - \gamma) (\alpha + \beta + \gamma) & (\beta - \gamma) (2\beta + \gamma) & (\beta - \gamma) (\beta + 2\gamma) \\ \alpha^2 + \alpha \gamma + \gamma^2 & \beta^2 + \beta \gamma + \gamma^2 & 3\gamma^2\end{vmatrix} = \\[10] (\beta \gamma) & \begin{vmatrix} 3\alpha^2 & \beta^2 + \alpha \beta + \alpha^2 & \gamma^2 + \alpha \gamma + \alpha^2 \\ \alpha + \beta + \gamma & 2\beta + \gamma & \beta + 2\gamma \\ \alpha^2 + \alpha \gamma + \gamma^2 & \beta^2 + \beta \gamma + \gamma^2 & 3\gamma^2\end{vmatrix} = [R_3 \a R_3 - R_1] = \\[10] (\beta \gamma) & \begin{vmatrix} 3\alpha^2 & \beta^2 + \alpha \beta + \alpha^2 & \gamma^2 + \alpha \gamma + \alpha^2 \\ \alpha + \beta + \gamma & 2\beta + \gamma & \beta + 2\gamma \\ (\gamma - \alpha) (\gamma + 2\alpha) & (\gamma - \alpha) (\alpha + \beta + \gamma) & (\gamma - \alpha) (2\gamma + \alpha) \end{vmatrix} = \\[10] (\beta \gamma) (\gamma \alpha) & \begin{vmatrix} 3\alpha^2 & \beta^2 + \alpha \beta + \alpha^2 & \gamma^2 + \alpha \gamma + \alpha^2 \\ \alpha + \beta + \gamma & 2\beta + \gamma & \beta + 2\gamma \\ \gamma + 2\alpha & \alpha + \beta + \gamma & 2\gamma + \alpha \end{vmatrix} = [C_2 \a C_2 - C_1] = \\[10] (\beta \gamma) (\gamma \alpha) & \begin{vmatrix} 3\alpha^2 & (\beta - \alpha) (\beta + 2\alpha) & \gamma^2 + \alpha \gamma + \alpha^2 \\ \alpha + \beta + \gamma & \beta - \alpha & \beta + 2\gamma \\ \gamma + 2\alpha & \beta - \alpha & 2\gamma + \alpha \end{vmatrix} = \\[10] (\beta \gamma) (\gamma \alpha) (\beta \alpha) & \begin{vmatrix} 3\alpha^2 & \beta + 2\alpha & \gamma^2 + \alpha \gamma + \alpha^2 \\ \alpha + \beta + \gamma & 1 & \beta + 2\gamma \\ \gamma + 2\alpha & 1 & 2\gamma + \alpha \end{vmatrix} = [C_3 \a C_3 - C_1] \\[10] (\beta \gamma) (\gamma \alpha) (\beta \alpha) & \begin{vmatrix} 3\alpha^2 & \beta + 2\alpha & (\gamma - \alpha) (\gamma + 2\alpha) \\ \alpha + \beta + \gamma & 1 & \gamma - \alpha \\ \gamma + 2\alpha & 1 & \gamma - \alpha \end{vmatrix} = \\[10] (\beta \gamma) (\gamma \alpha)^2 (\beta \alpha) & \begin{vmatrix} 3\alpha^2 & \beta + 2\alpha & \gamma + 2\alpha \\ \alpha + \beta + \gamma & 1 & 1 \\ \gamma + 2\alpha & 1 & 1 \end{vmatrix} = [C_3 \a C_3 - C_2] \\[10] (\beta \gamma) (\gamma \alpha)^2 (\beta \alpha) & \begin{vmatrix} 3\alpha^2 & \beta + 2\alpha & \gamma - \beta \\ \alpha + \beta + \gamma & 1 & 0 \\ \gamma + 2\alpha & 1 & 0 \end{vmatrix} = \\[10] - (\beta \gamma)^2 (\gamma \alpha)^2 (\beta \alpha) & \begin{vmatrix} 3\alpha^2 & \beta + 2\alpha & 1 \\ \alpha + \beta + \gamma & 1 & 0 \\ \gamma + 2\alpha & 1 & 0 \end{vmatrix} = \\[10] - (\beta \gamma)^2 (\gamma \alpha)^2 (\beta \alpha)^2 \end{align*} $$

donde la última $3 \times 3$ factor determinante ha sido ampliado a lo largo de la $3$rd columna.

Dado que el factor determinante es el negativo de la plaza de un producto de números reales, su máxima será de $0$, alcanzado cuando dos de $\alpha, \beta, \gamma \in [-3,10]$ son iguales.

Answer 4

Sugerencia: La matriz es simétrica. Puede utilizar la descomposición de Cholesky para reescribir la matriz $A$ como $A=LL^T$, en el que $L$ es una triangular inferior de la matriz. Entonces el determinante es $\det A = \det L \det L^T = \det^2 L$. A continuación, $\det L$ está dada por el producto de los elementos de la diagonal de a$L$ , ya que es una triangular inferior de la matriz.