Problemas funcionales: encuentre todas las funciones tales que$f(x)f(y) = f(xy + 1) + f(x - y) – 2$

Question

Encontrar todas las funciones que $f(x)f(y) = f(xy + 1) + f(x - y) – 2$ para todos los $x, y $ son números reales.

Puedo poner y=0 en la ecuación y obtenga $(f(0)-1)f(x)=f(1)-2$. Si $f(0)≠1$, a continuación, $f(x) = (f(1)-2)/(f(0)-1)$ así, la función sería constante. Pero, puesto que el $c^2=2c-2$ no tiene soluciones reales, la función no puede ser constante. Por lo tanto, $f(0)=1$, lo que implica que $f(1)=2$. También tenga en cuenta que f debe ser una función par como $f(x-y)=f(y-x)$.
Set $f(x)=1+x^2+g(x)$ para algunos incluso la función de $g$, $g(0)=g(1)=0$. A continuación, poner $f(x)$ en el funcional de la ecuación y sustituir $y=1$, consigue $g(x+1)-g(x)=g(x)-g(x-1)$. Definir $P(x) = {…, g(x-2), g(x-1), g(x), g(x+1), g(x+2),…}$ , lo $P(x)$ es un A. P., a Continuación, sustituya $y = -x , y=x$ y utilizando el hecho de que g es, incluso, para obtener el $g(x^2+1) – g(x^2-1) = g(2x)$. Estoy tratando de demostrar $g(x)=0$ para todos los $x$. ¿Cómo puedo proceder?

Answer 1

Deje $S=\{\,x\in \Bbb R\mid f(x)=x^2+1\,\}$. Ya saben: $f(0)=1$, $f(1)=2$, $f$ es par, es decir, $\{0,1\}\subset S$ e $S=-S$. Queremos mostrar a $S=\Bbb R$, y esto es equivalente a su esfuerzo para mostrar $g\equiv 0$, pero me resulta más fácil pensar en ello de esta manera.

Uno fácilmente se ve en el hecho de que $x\mapsto x^2+1$ resuelve la ecuación funcional:

$$\tag0\text{If three out of }x,y,xy+1,x-y\text{ are }\in S\text{, then so is the fourth.}$$

Con $y=1\in S$, esto se convierte en $$ \tag1\text {If two of }x-1,x,x+1\text{ are }\in S\text{, then so is the third.}$$ A partir de este y $0,1\in S$, la inducción nos da $$\Bbb Z\subset S.$$ Asimismo, con $x=y$ y el uso de $0\in S$, $(0)$se convierte en $$ \tag2\text{If }x\in S\text{, then }x^2+1\in S.$$ Más precisamente, $y=x$ nos da $$ \tag 3f(x)^2+1=f(x^2+1),$$ y así $$\tag4 f(x)\ge 1\quad\text{for }|x|\ge 1.$$ Considere la posibilidad de $x$ con $0<|x|<1$. Con $y=2\operatorname{sgn}(x)+x$, obtenemos que $|y|>1$, $|xy+1|>1$, $y-x=\pm2$ así que por $(4)$, $f(x)f(y)=f(xy+1)+3\ge 4$, y, por tanto, $f(x)>0$. Así, junto con $(4)$ e $f(0)=1$, $$ f(x)>0\qquad\text{for all }x\in\Bbb R.$$ Este e $(3)$ nos permite mejorar la $(2)$a $$ \tag5x\in S\iff x^2+1\in S.$$ Para $0\le u_0<v_0$, vamos a $u_n=u_{n-1}^2+1$, $v_n=v_{n-1}^2+1$. A continuación, $u_n<v_n$, $(u_{n-1},v_{n-1})$ se asigna bijectively a $(u_n,v_n)$ por $x\mapsto x^2+1$, y $$v_n-u_n=(u_{n-1}+v_{n-1})(v_{n-1}-u_{n-1})>2u_{n-1}(v_{n-1}-u_{n-1})\ge 2(v_{n-1}-u_{n-1})$$ for $n\ge 2$, hence some interval $(u_n,v_n)$ will have length $>1$ and therefore intersect $\Bbb Z$ and also $S$. We conclude from $(5)$ that also $(u_0,v_0)$ intersects $S$, por lo tanto $$ \overline S=\Bbb R.$$ En otras palabras,

$f(x)=x^2+1$ es la única continuo de la solución de la ecuación funcional.

Answer 2

Una forma de mostrar que $g(x)=0$ es la única continuo de la solución es mostrar que $g(q)=0$ para todos racional $q$. Para ello, sustituto $x=\frac mn$ e $y=n$ ($m,n\in\mathbb{Z}$, $n\ne0$) en la ecuación y obtenemos $$\tag1(1+n^2)\ g\left(\frac mn\right)=g\left(\frac mn-n\right)$$

Ahora, vamos a $d(x)=g(x+1)-g(x)$. Tenemos $d(-x)=-d(x)$. Pero $(1)$ implica que $$g\left(\frac mn\right)=-\frac 1n\ d\left(\frac mn\right)$$ $m\rightarrow-m$ a continuación, muestra que $g\left(\frac mn\right)=0$, como se desee.