Resolución de ecuaciones polinominales (relación de raíces)

Question

Las raíces de $x^3-4x^2+x+6$ se $\alpha$, $\beta$, e $\omega$. Encontrar (evaluar): $$\frac{\alpha+\beta}{\omega}+\frac{\alpha+\omega}{\beta}+\frac{\beta+\omega}{\alpha}$$

Hasta ahora he encontrado: $$\alpha+\beta+\omega=\frac {b}{a} = 4 \\ \alpha\beta+\beta\omega+\alpha\omega=\frac{c}{a} = 1 \\ \alpha×\beta×\omega=\frac {d}{a} = -6$$ Y evaluó las anteriores fracciones de la creación de
$$\frac{\alpha^2\beta+\alpha\beta^2+\alpha^2\omega+\alpha\omega^2+\beta^2\omega+\beta\omega^2}{\alpha\beta\omega}$$

No sé cómo continuar la evaluación de la pregunta.

Nota:
La respuesta que me han dado es $-\dfrac{11}{3}$

Answer 1

PS

PS

PS

PS

PS

Creo que deberías poder tomarlo desde allí.

Answer 2

Alternativamente, puedes resolver la ecuación: $$ x ^ 3-4x ^ 2 + x +6 = 0 \ Rightarrow (x +1) (x-2) (x-3) = 0 \ Rightarrow \\ \ alpha = - 1, \ beta = 2, \ omega = 3. $$ Por lo tanto: $$ \ frac {\ alpha + \ beta} {\ omega} + \ frac {\ beta + \ omega} {\ alpha} + \ frac {\ alfa + \ omega} {\ beta} = \\ \ frac {-1+ 2} {3} + \ frac {2 + 3} {- 1} + \ frac {-1 + 3} {2} = \\ \ frac13-5 +1 = \\ - \ frac {11} {3}. $$

Answer 3

Sugerencia: podemos escribir $$\frac{4-w}{w}+\frac{4-\beta}{\beta}+\frac{4-\alpha}{\alpha}$$ and this is $$4\left(\frac{\alpha\beta+\alpha w+w\beta}{\alpha \beta w}\right)-3$$ and this is $$-\frac{2}{3}\left(1-\beta w-\alpha w+\alpha w+\beta w\right)$ $ Esto se simplifica a $$-\frac{2}{3}-3=-\frac{11}{3}$ $

Answer 4

Eso se deduce de sus resultados, ya que obtenemos: $\dfrac{4-\omega}{\omega}+\dfrac{4-\beta}{\beta}+\dfrac{4-\alpha}{\alpha}=\dfrac{4(\omega\beta+\omega \alpha+\beta\alpha)-3\omega\beta\alpha}{\omega \beta \alpha}=\dfrac{4+18}{-6}=-\dfrac{11}3$ .