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Question

El siguiente es de un nacional junior concurso de un país africano.

Encontrar la integral de la $$I(x)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{du}{x^2\cos^2u+\sin^2u}}$$

$$\underline{\textbf{My attempt:}}$$

Reescribir la integral como $$I(x)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1+\tan^2u}{x^2+\tan^2u}}du$$ then do the substitution $\tan u=\lambda x$, esto nos da: $$I(x)=\int_{0}^{\alpha}{\frac{1+\lambda^2x^2}{x^2+\lambda^2x^2}\times\frac{xd\lambda}{1+\lambda^2x^2}}=\frac{1}{x}\int_{0}^{\alpha}{\frac{d\lambda}{1+\lambda^2}}.$$ El problema es que el valor de $\alpha$parece que:

Si $x>0$ tenemos que elegir a $\alpha=\infty$si no $\alpha=-\infty$. Esto produce:

Si $x>0\quad I(x)=\frac{\pi}{2x}$

Si $x<0\quad I(x)=-\frac{\pi}{2x}$

Por lo tanto $I(x)=\frac{\pi}{2|x|}$ si $x\ne 0$ Es esto correcto? Cualquier alternativa de la prueba?

$\textbf{Addendum}$: Traté de resolverlo el uso de Feynman Truco sin problema. Estoy bastante lsure que uno puede hacer con ese truco. A la espera de ver a alguien a resolver con Feynman. Merci!!!

Answer 1

\begin{align}I(x)&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{du}{x^2\cos^2u+\sin^2u}}\,du\\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{du}{x^2+\tan^2u}}\times \dfrac{1}{\cos^2 u}\,du\\ \end{align}

La función no está definida para $x=0$ .

Observe que, $I(-x)=I(x)$

Realice el cambio de la variable $y=\tan u$ , y $x>0$ \begin{align}I(x)&=\int_{0}^{\infty}{\frac{du}{x^2+u^2}}\,\\ &=\left[\dfrac{1}{x}\arctan\left(\dfrac{u}{x}\right)\right]_0^{\infty}\\ &=\dfrac{\pi}{2x} \end {align} Por lo tanto, para $x\neq 0$ , $\boxed{I(x)=\dfrac{\pi}{2\left|x\right|}}$