Estoy leyendo un libro donde afirman que $f_n(x) = x^n$ converge pointwise a $f(x) = \chi_{\{1\}}(x)$ con respecto a la norma $\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|$ y dos páginas más adelante afirman que no con respecto a la misma norma. Aquí están las partes pertinentes:
Editado: Un usuario menciona que las imágenes están mal vistos, así que he intentado reescribir todo lo que estaba en las imágenes, palabra por palabra, (yo no estaba seguro de cómo volver a escribir algunas de matemáticas en mathjax, así que he intentado usar lo que yo creo que es una forma equivalente a volver a escribir (las imágenes son de la izquierda para la referencia, si alguien se dé cuenta de nada de lo que no he reescrito correctamente, y, obviamente, la figura que no tengo manera de recrear en el texto):
Ejemplo 2.4 Vamos a considerar un valor real de la secuencia de funciones, $(f_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$, $f_n(x) = x^n \in C[0,1]$. Con respecto a la $\textit{supremum norm}$, definido por: $$||f_n||_{\infty} := \sup_{x\in[0,1]}{|f_n(x)|},$$ la secuencia de $(f_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ converge pointwise a la función de límite de $f$, dado por $f(x) = 0$ para $x \in [0,1)$ e $f(x) = 1$ para $x=1$, como se tiene: $$||f_n(x)-f(x)||_{\infty} = \sup_{x\in[0,1)}{|f_n(x)-f(x)|} = |x^n|<\epsilon$$
para todos los $x \in [0,1)$, e $||f_n(1)-1||_{\infty} = 0$. A partir de esta observación podemos concluir: $f_n$ converge pointwise con respecto a el supremum norma $||f_n||_{\infty}$, hacia el límite de la función f que toma el valor de cero en el medio abierto intervalo de $[0, 1)$ y es exactamente por $x = 1$. Obviamente, la secuencia de $f_n$ converge hacia una función discontinua, es decir, el límite de la función no es un $C[0, 1]$ miembro del espacio $C[0, 1]$, ver Figura 2.4:
El texto debajo de la figura anterior se lee:
FIGURA 2.4: POINTWISE Y CONVERGENCIA UNIFORME. Los elementos de las secuencias de funciones de $f_n = x^n$ e $g_n = \frac{2x}{1+n^2x^2}$ . Obviamente, $f_n$ es pointwise convergente a $0$ en el intervalo de $[0, 1)$, pero ni pointwise ni uniformemente convergente en el intervalo cerrado $[0, 1]$. La secuencia de $g_n$ es uniformemente convergente hacia la $0$ a $[0, 1]$ con respecto a la infinidad de la norma.
Dos páginas después del ejemplo 2.4, uno puede encontrar un ejemplo 2.5:
EJEMPLO 2.5 Vamos a considerar una vez más la secuencia de las funciones del Ejemplo 2.4. Como hemos visto, $f_n$ converge con respecto a la supremum norma pointwise a una función de límite. Con respecto a la supremum norma definida por, $$||f_n||_{\infty} := \sup_{x\in[0,1]}{|f_n(x)|},$$ la secuencia de funciones no es convergente a la función de límite de $f(x)$ ya tiene: $$||f_n-f||_{\infty} = \sup_{x\in[0,1]}{|f_n(x)-f(x)|} = 1$$ Como muestra este ejemplo, en el infinito-dimensional lineal de los espacios de convergencia definido por una determinada norma puede ser más fuerte que por otra norma.
He dejado las imágenes son solo de referencia: Ejemplo 2.4 Part1, Ejemplo 2.4 De la Parte 2, Ejemplo 2.5
Nadie puede adivinar lo que la norma iba a ser en el segundo caso para $f_n$ a no convergen pointwise? Se acaba de cambiar el intervalo para el supremum hacer nada?
A partir de aquí son los extras de las ediciones que no estaban presentes en mi post original que se pretende abordar algunas de las cosas de las que hablamos en los comentarios:
De lo que deduzco Ejemplo 2.4 se refiere a pointwise convergencia, y el Ejemplo 2.5 se refiere a la convergencia uniforme, pero ¿por qué entonces esta parte, destacó: "Como muestra este ejemplo, en el infinito-dimensional lineal de los espacios de convergencia definido por una determinada norma puede ser más fuerte que por otra norma." Tan lejos como puedo ver las normas utilizadas en 2.4 y 2.5 son idénticas, o al menos la definición inicial en el texto es idéntico, pero van a demostrar pointwise vs convergencia uniforme? También asumo basada en las conversaciones en los comentarios que la declaración "Obviamente, $f_n$ es pointwise convergente a $0$ en el intervalo de $[0, 1)$, pero ni pointwise ni uniformemente convergente en el intervalo cerrado $[0, 1]$." en la Figura 2.4. es incorrecto, ya que la secuencia es en realidad pointwise convergente en $[0,1]$ pero no de manera uniforme.
Por último, un montón de gente ha mencionado que el "pointwise convergencia respecto de una norma" no tiene sentido. Pero aquí está la definición de pointwise convergencia que tengo desde el mismo libro, en el que claramente se utiliza la norma del espacio (que en el ejemplo sólo pasó a ser el infinito norma):
DEFINICIÓN 2.3 (Pointwise Convergencia) Una secuencia $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ de las funciones de un lineal de la normativa de la función de espacio de $(S, ||\cdot||)$ se dice que convergen pointwise el límite de la función f, en el signo de $f_n \rightarrow f$, si para cada a$\epsilon>0$, existe un número $N(\epsilon, x)$, dependiendo de la $x$ e $\epsilon$, de tal manera que se tiene: $$||f_n(x)-f(x)|| < \epsilon$$ para todos los $n>N(\epsilon,x)$ e $x\in Dom(f)$.
La integridad de la imagen de este: Definición 2.3
A mi modo de ver, se toman la normativa espacio de $(C[0,1],||\cdot||_{\infty})$ y tomar la secuencia de $f_n(x) = x^n$ , señalan que es pointwise convergente a $f(x) \not\in C[0,1]$ con respecto a la norma del espacio. No entiendo que parte de eso no tiene sentido. Es la definición de pointwise convergencia mal en el libro que estoy leyendo, ya que se define con respecto a la norma del espacio? ¿Qué norma debe ser definida con respecto a entonces?
También si el texto es, de hecho, "descuidado", yo sería feliz para cualquier tipo de recomendaciones con las que complementar mi lectura (el libro no es específicamente en el análisis funcional por lo que no puede sustituir totalmente con un análisis funcional libro, simplemente utiliza algunas de las declaraciones de ella).
Edit 2: Me di cuenta de lo que el problema fue gracias a la respuesta, creo que el autor ha querido utilizar el $|\cdot|$ norma para el primer ejemplo, en cuyo caso su prueba habría trabajado. Y, a continuación, la Figura 2.4 tiene sentido, y el ejemplo 2.5 también tiene sentido.
