¿Por qué no se aplica la definición de valor absoluto al cuadrar una raíz que contiene una variable?

Question

Recientemente aprendí sobre la siguiente definición del valor absoluto:

$|a| = \sqrt{a^2}$

Luego me encontré con una solución a un problema que tenía el siguiente paso:

$5 \geq \sqrt{5 - x}$

Para proceder, tuvimos que elevar ambos lados al cuadrado:

$5^2 \geq (\sqrt{5 - x})^2$

Con la mencionada definición de valor absoluto en mente, escribí:

$25 \geq |5 - x|$

Pero la solución real resultó ser:

$25 \geq 5 - x$

No entiendo por qué la definición de valor absoluto no se aplicó aquí. ¿Alguien me puede decir por qué?

Answer 1

De hecho, $\sqrt{a^2}=\lvert a\rvert$. Pero $\sqrt a^2=a$ (asumiendo que $a\geqslant0$), no $\lvert a\rvert$.

Answer 2

$$\left(\sqrt a\right)^2\ne\sqrt{a^2}.$$

Intenta con $a=-1$.

Answer 3

Del hecho de que puedas tomar $\sqrt {5-x}$ sabes que $5-x \ge 0$ por lo que no necesitas los signos de valor absoluto.

Answer 4

Para comparar $\sqrt{5-x}$ con $\sqrt{a^2}$ debes comparar $5-x$ con $a^2$. El problema es que $a^2 \ge 0$ mientras que $5-x$ puede ser cualquier número real. Pero si agregas la restricción $5-x \ge 0$, entonces $25 \geq |5 - x|$ se convierte en

$$\text{$25 \geq 5 - x \ \text{y} \ 5-x \ge 0$}$$

Answer 5

Si observas detenidamente, notarás que tu definición tiene el cuadrado dentro de la raíz cuadrada (no afuera): $$|a| = \sqrt{a^2}$$ Sin embargo, en tu solución pareces asumir que: $$\sqrt{a^2} = (\sqrt{a})^2$$ Sin embargo, $$\sqrt{a^2} \neq (\sqrt{a})^2$$ Por ejemplo, como otros han sugerido, si $a = -1$ tenemos: $$\sqrt{a^2} = \sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1$$ pero $$(\sqrt{a})^2 = (\sqrt{-1})^2 = i^2 = -1$$