Raíces reales de la ecuación$\log_{(5x+4)}(2x+3)^3-\log_{(2x+3)}(10x^2+23x+12)=1$

Question

Encontrar el conjunto de las raíces reales de la ecuación de$$\log_{(5x+4)}(2x+3)^3-\log_{(2x+3)}(10x^2+23x+12)=1$$

Mi Intento $$ 2x+3>0, 5x+4>0, 2x+3,5 x+4\neq1\implica x>-4/5\;\&\;x\neq -1\;\&\;x\neq -3/5 $$ $$ 3\log_{(5x+4)}(2x+3)-\log_{(2x+3)}(5x+4)(2x+3)=1\\ 3\log_{(5x+4)}(2x+3)-\log_{(2x+3)}(5x+4)-\log_{(2x+3)}(2x+3)=1\\ 3\log_{(5x+4)}(2x+3)-\log_{(2x+3)}(5x+4)-1=1\\ 3\log_{(5x+4)}(2x+3)-\log_{(2x+3)}(5x+4)=2\\ 3\log_{(5x+4)}(2x+3)-\frac{1}{\log_{(5x+4)}(2x+3)}=2 $$ Set $y=\log_{(5x+4)}(2x+3)$ $$ 3y^2-2y-1=0\implica y=\log_{(5x+4)}(2x+3)=1,\frac{-1}{3} $$ Caso 1: $$ \log_{(5x+4)}(2x+3)=\frac{\log(5x+4)}{\log(2x+3)}=1\implica\log(5x+4)=\log(2x+3) \implica \boxed{x=\frac{-1}{3}} $$ Caso 2: $$ \log_{(5x+4)}(2x+3)=\frac{\log(2x+3)}{\log(5x+4)}=\frac{-1}{3}\implica \color{rojo} ? $$ Mi referencia dice $x=\frac{-1}{3}$ es la única solución. ¿Cómo puedo demostrarlo ?

Posible Solución $$ y=\log_{(5x+4)}(2x+3)=\frac{-1}{3}<0\:,\quad x>-4/5=-0.8 $$ Caso 1: $5x+4>1\implies x>-3/5=-0.6$ $$ 0<2x+3<1\implica -3/2<x<-1\implica-1.5<x<-1\\ \text{No puede ser Posible !} $$ Caso 2: $0<5x+4<1\implies -4/5<x<-3/5\implies-0.8<x<-0.6$ $$ 2x+3>1\implica x>-1\\ \implica \boxed{x\in(-0.8,-0.6)} $$ Parece que podría ser una solución para el "caso 2" en mi intento ?

Answer 1

Uno puede mostrar por qué este caso se obtiene exactamente una solución, de la siguiente manera.

En primer lugar, la expresión en $\text{LHS}$ de la ecuación $$\log_{(5x+4)}{(2x+3)}=-\frac 13$$ uniquely defines a real number provided that $1\ne 5x+4>0$ and $2x+3>0.$ Thus, any solution of the equation must also satisfy the conditions $$x>-0.8, x\ne -0.6.$$

Habiendo hecho eso, ahora me muestran que esta ecuación tiene exactamente una raíz que cumplan estas condiciones, lo que confirma la afirmación.

Esta ecuación es, por definición, equivalente a la ecuación polinómica $$40x^4+212x^3+414x^2+351x+107=p(x)=0.$$ First, note that this has no real roots for $x\ge 0$ since then $p(x)>0.$ Now since $p(-1)<0,$ it follows that there is at least one root in $(-1,0).$ We show that there is in fact a unique root in this interval. To see this, take the first derivative of $p(x),$ which gives $$p'(x)=160x^3+636x^2+828x+351.$$ The second derivative is then given by $$p''(x)=40x^2+106x+69,$$ whose discriminant is $14,$ whence its roots are $-1.5,-1.15,$ both outside of the interval $(-1,0).$ It follows that $p">0$ in this interval. Therefore, the first derivative $p'(x)$ increases for all $x\in(-1,0).$ This means $p$ is convex in that interval; together with the negativity of $p$ at $-1,$ it implies that $p$ has at most one root in this interval. Finally, I show that this root must lie in $(-0.8,-0.6),$ acabado el problema.

Ahora, tenemos que $p(-0.6)>0.$ Además, tenemos que $p(-0.8)<0.$ por Lo tanto, hemos confirmado la afirmación de que la única raíz en $(-1,0)$ cae dentro de la subinterval $(-0.8,-0.6),$ que se encuentra dentro del rango permitido $-0.6\ne x>-0.8.$ Ya que no hay raíces para $x\ge -0.6,$ se sigue que ningún otro raíz de $p(x)=0$ cae en el rango permitido. Esto completa la prueba.

Answer 2

Desde $10x^2+23x+12=(2x+3)(5x+4)$, mi sugerencia es establecer $t=\log_{(2x+3)}(5x+4)$, por lo que $$ \log_{(5x+4)}(2x+3)=\frac{1}{t} $$ y la ecuación se convierte en $$ \frac{3}{t}-1-t=1 $$ por lo $t^2+2t-3=0$ e $t=1$ o $t=-3$.

El primer caso se obtiene $5x+4=2x+3$, por lo tanto $x=-1/3$.

El segundo caso se obtiene $5x+4=(2x+3)^{-3}$. Si tenemos en cuenta las dos funciones de $f(x)=5x+4$ e $g(x)=(2x+3)^{-3}$, podemos ver que $$ f(-2)=-6,\quad g(-2)=-1,\qquad f(-1)=-1,\quad g(-1)=1,\qquad f(0)=4,\quad g(0)=1/27 $$ Por lo tanto la ecuación de $f(x)=g(x)$ tiene dos raíces en el intervalo de $(-2,0)$. Para el uno en el intervalo de $(-2,-1)$, tenemos $f(x)=g(x)<0$, por lo que esta no es una solución.

Para el uno en el intervalo de $(-1,0)$, tenemos $f(x)=g(x)>0$ e no $1$. Así que la solución es buena para el problema.