¿Cuál es una buena aproximación a los ceros de la integral del coseno?

Question

I. Integral logarítmica

La integral logarítmica $\rm{li}(z)$ tiene un único cero positivo en $z \approx 1.451363$ llamada la constante de Ramanujan-Soldner.

II. Integral del coseno

El integral del coseno $\rm{Ci}(x)$ por otro lado, tiene infinitamente muchos ceros,

El más pequeño no tiene nombre y es $x_0 \approx 0.61650548$ . Para los siguientes ceros, observo que pueden ser aproximados por múltiplos racionales de $\pi$ ,

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline n&x_n&n\pi\\ \hline 1&3.38&3.14\\ 2&6.42&6.28\\ 3&9.52&9.42\\ 4&12.64&12.56\\ \hline \end{array}$$

III. Integral del seno

El integral del seno $\rm{Si}(y)$ equivale a $\frac{\pi}2\approx 1.57$ también tiene infinitos ceros.

El más pequeño no tiene nombre y es $y_0 \approx 1.92644766$ . Los siguientes ceros son,

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline n&y_n&(2n+1)\tfrac{\pi}2\\ \hline 1&4.89&4.71\\ 2&7.97&7.85\\ 3&11.08&10.99\\ 4&14.20&14.13\\ \hline \end{array}$$

IV. Preguntas

1. Haz las expresiones $x_n - n\pi$ y $y_n - (2n+1)\frac{\pi}2$ convergen a alguna constante no nula?
2. ¿Hay mejores aproximaciones a las raíces $x_n$ y $y_n$ ?

Answer 1

Si miras aquí se verá que los ceros vienen dados por $$a+\frac{1}{a}-\frac{16}{3\, a^3}+\frac{1673}{15\, a^5}-\frac{507746}{105 \, a^7}+O\left(\frac{1}{a^9}\right)$$ donde $a=k \pi$ para la integral del coseno y $a=\left(k+\frac 12\right)\pi$ para la integral del seno.

Si quieres una forma más compacta, puedes utilizar $$a+\frac{240 a^2+3739}{a(240 a^2+5019)}$$ Lo construí a partir de lo anterior.

Answer 2

Las raíces del seno cardinal se dan en $n\pi$ y estos corresponden a los mínimos y máximos alternos de la Integral del Seno. Las raíces de esta última se encontrarán asintóticamente en el centro y la constante es cero. (Para las altas $n$ , $\dfrac1{2n\pi+x}$ tiende a una constante durante un período).

Más cuantitativamente, utilizando una aproximación lineal para $x\in[0,2\pi]$ ,

$$\frac{\sin(2n\pi+x)}{2n\pi+x}\approx\frac{\sin(2n\pi+x)}{2n\pi}\left(1-\frac x{2n\pi}\right)$$

y

$$\int_0^x\frac{\sin(2n\pi+t)}{2n\pi+t}dt\approx\frac{(x-2n\pi) \cos x - \sin(x)}{(2n\pi)^2}.$$

Esta expresión se cancela cuando

$$\cos x=\frac{x\cos(x)-\sin(x)}{2n\pi}=O\left(\frac1n\right)$$ para que el sesgo de la raíz desaparezca como $\dfrac1n$ . Los términos de orden superior en el desarrollo no cambiarán este comportamiento.