La proposición 8.1.18 en Engelking se afirma sin pruebas, y estoy teniendo problemas para probar la segunda parte de la afirmación. Sería muy apreciado si he recibido una sugerencia. Tenga en cuenta que Engelking asume su uniformidad a ser Hausdorff, que no es completamente estándar, por lo que he insertado la palabra Hausdorff donde no está indicado en Engelking del libro. En primer lugar, he estado dos propiedades que son necesarias para el estado de la proposición:
Supongamos $X$ es un conjunto y $P$ es una colección de pseudometrics en $X$. Decir $P$ satisface (UP1) y (2) si los siguientes son satisfechos:
$\text{(UP1)}$ Si $\rho_1, \rho_2 \in P$, a continuación, $\max\{\rho_1, \rho_2\} \in P;$
$\text{(UP2)}$ Para cada par $x,y$ de distintos puntos de $X$, existe un $\rho \in P$ tal que $\rho(x,y)>0$.
Tenga en cuenta que si una familia de pseudometrics satisface (UP2), la uniformidad de la cual es generada por esta familia es Hausdorff; (UP1) implica que la recopilación $\{V_{d, \varepsilon} \}_{\varepsilon>0, d}$ es una base y no meramente una subbase para algunos la homogeneidad de un conjunto $X$, donde $V_{d, \varepsilon} : = \{(x,y) | d(x,y)<\varepsilon\}$.
Una pieza más de la terminología: dada una uniformidad $\mathcal U$ sobre un conjunto $X$ y un pseudometric $\rho$ a $X$, decir $\rho$ es uniforme con respecto a $\mathcal U$ si para cada a$\varepsilon>0$, no es $U \in \mathcal U$ tal que $\rho(x,y) < \varepsilon$ siempre $(x,y) \in U$. Esta condición es equivalente a la continuidad uniforme de $\rho$ sobre el producto de espacio uniforme $X \times X$.
Yo ahora el estado de la proposición, ligeramente parafraseado.
La proposición 8.1.18 (Engelking) Supongamos que tenemos un conjunto de $X$ y una familia $P$ de pseudometrics en $X$ que tiene propiedades $\text{(UP1) - (UP2)}$. La familia $\mathcal B$ de todos los séquitos de las diagonales, que son de la forma $V_{\rho, 2^{-i}}$ para $\rho \in P$ e $i \in \mathbb N$ es una base para un (Hausdorff) uniformidad $\mathcal U$ en el conjunto de $X$. Por otra parte, cada pseudometric $\rho \in P$ es uniforme con respecto a $\mathcal U$.
Si, por otra parte, $(X, \tau)$ es un espacio topológico y todos pseudometrics de la familia $P$ son continuas como mapas de $X \times X \to [0, \infty)$, y si para cada a$x \in X$ y cada vacía conjunto cerrado $A \subseteq X$ tal que $x \notin A$ existe un $\rho \in P$ tal que $\inf\{\rho(x,a) | a \in A\} >0$, a continuación, $\mathcal U$ es un (Hausdorff) la uniformidad en el espacio $X$.
Nota: los siguientes Engelking a la terminología, la si $X$ es un espacio topológico y $\mathcal U$ es una uniformidad en $X$, y si el uniforme de la topología inducida por $\mathcal U$ coincide con la topología en $X$, dicen que $\mathcal U$ es una uniformidad en el espacio $X$. Así, el segundo párrafo de la proposición anterior es decir que el uniforme de la topología inducida por $\mathcal U$ (vamos a llamar a $\tau_{\mathcal U}$) coincide con $\tau$.
Podría tener una pista para demostrar la afirmación en el segundo párrafo de la proposición? (Veo cómo probar las afirmaciones contenidas en el primer párrafo). Con la notación como antes, sólo he sido capaz de mostrar, $\tau \supseteq \tau_{\mathcal U}$; esto se deduce fácilmente a partir de la continuidad de la pseudometrics en el espacio del producto $X \times X$.
De hecho, me cuesta creer por qué esto es cierto. Considere el siguiente ejemplo:
Deje $X= \{f \in C^1(\mathbb R) | ~f(0)=0\}$, vamos a $d_{n, k}(f,g):= \sup_{|x| \leq n} |D^k f(x)-D^kg(x)|$, $k=0,1$. Deje $\tau$ ser la topología generada por $\{d_{n, k}\}_{n \in \mathbb N, k=0,1}$. Deje $P:= \{d_{n, 1}\}_{n}$, y deje $\mathcal U$ e $\tau_{\mathcal U}$ ser la uniformidad generado por $P$ y el uniforme de la topología, respectivamente. A continuación,
- Cada $d_{n, 1}$ es continuo, como un mapa de $X \times X \to [0, \infty)$;
- $P$ satisface las propiedades (UP1) y (2); ver (UP2), supongamos $f,g \in X$ satisfacer $d_{n,1}(f,g) = 0$ por cada $n$; es decir, $f'=g'$. Desde $f(0)=g(0)$, se deduce que el $f=g$.
- El segundo supuesto en el segundo párrafo de la Proposición. 8.1.18 satisfecho: supongamos $A \subseteq X$ es $\tau$ cerrado y supongamos $f \notin A$. Por el bien de la contradicción, supongamos que para cada $n$, hay una secuencia $(g_{n,k})_k$ en $A$ tal que $d_{n, 1}(f, g_{n,k}) \to 0$ como $k \to \infty$. Que es, $g_{n,k}' \to f'$ uniformemente en $[-n, n]$, e $(g_{n,k}(0))_k$ de curso converge; por lo tanto, por un conocido teorema de análisis real, $(g_{n,k} |_{[-n, n]})_k$ converge uniformemente a algunos diferenciable $g_n: [-n,n] \to \mathbb C$, $g_n(0)= 0$, e $g_n' = f'|_{[-n, n]}$ (y, por tanto, $g_n = f|_{[-n, n]}$). Por lo tanto, dado $\varepsilon>0, n \in \mathbb N, k \in \{0,1\}$, no es $h \in A$ tal que $d_{n, k}(f, h) < \varepsilon$. En consecuencia, todos los $\tau$ barrio de $f$ cumple con $A$, por lo tanto $f\in A$.
Pero, $\tau$ es estrictamente más fino que el de $\tau_{\mathcal U}$.
Tengo dudas acerca de mi "contraejemplo", por lo que también se aprecia si alguien podría señalar los errores que he cometido en mi ejemplo.
