Series de Taylor de funciones con entrada matricial

Question

Hoy mi profesor ha dicho algo interesante, sustituir $x$ en $f(x)$ con la matriz \begin {bmatrix}x&1 \\0 &x \end {bmatrix}

Entonces $$f(\begin{bmatrix}x&1\\0&x\end{bmatrix}) = f(x)\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} + f^{'}(x)\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$$

y nos pidió que encontráramos los términos de orden superior ( $f^{''}(x), f^{'''}(x) ....$ ) y extenderlo a funciones multivariables.

No entendí cómo se le ocurrió esto.

Después de buscar en Google, esto parece similar a la matriz exponencial de los grupos de mentiras.

Answer 1

Intentemos primero comprender lo que ocurre en el caso de los polinomios: Tomemos una función polinómica $f: \mathbb{R\to \mathbb{R}}$ . Nos gustaría definir $f(X)$ , donde $X$ es un verdadero $n\times n$ matriz para $n \in \mathbb{N}$ . Desde $f$ es un polinomio, tenemos $$f(x)=p_0x^0+p_1x+p_2x^2+...+p_mx^m$$ para algunos $m \in \mathbb{N}$ y $(p_k)_{k=0}^m \in \mathbb{R^m}$ . Desde $n \times n$ las matrices, al igual que los números reales, pueden sumarse y multiplicarse por sí mismas, es natural definir $$f(X)=p_0X^0+p_1X^1+p_2X^2+...+p_mX^m,$$ donde $X^0$ es la matriz de identidad. Así que para cualquier polinomio función $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ podemos definir una función matricial correspondiente $F: \mathbb{R^{n\times n}} \to \mathbb{R^{n \times n}}$ .

Pero queremos más: Queremos definir $f(X)$ para una clase más amplia de funciones donde $f$ ya no es necesariamente un polinomio. Consideremos serie de potencia que, en cierto sentido, son simplemente "polinomios infinitos". Tomemos una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que puede escribirse como $$f(x)=\sum_{j=0}^\infty q_jx^j$$ para algunos $(q_j)_{j\in\mathbb{N}}\in \mathbb{R}^\mathbb{N}$ donde la serie, por supuesto, tiene que converger para todo $x\in \mathbb{R}$ . Entonces, de forma análoga al caso del polinomio, nos gustaría definir para un $n\times n$ matriz $X$ $$f(X):=\sum_{j=0}^\infty q_jX^j.$$ Pero tenemos que asegurarnos de que esta serie converge para todo $X\in\mathbb{R^{n\times n}}$ ¡también, de lo contrario esta expresión no tiene ningún sentido! Ahora, técnicamente, necesitamos una norma sobre $\mathbb{R}^{n \times n}$ para hablar de convergencia, pero la elección no importa realmente porque todas las normas en espacios vectoriales de dimensión finita son equivalentes. Tomemos la norma $||X||:=\sqrt{\sum_{i,j=0}^n |X_{i,j}|^2}$ porque tiene la conveniente propiedad de ser submultiplicativa, es decir $||XY||\leq||X||||Y||$ para todos $X,Y \in \mathbb{R^{n \times n}}$ y que será útil en el siguiente argumento:

$$||\sum_{j=0}^{m+n}q_jX^j-\sum_{j=0}^{m}q_jX^j||=||\sum_{j=m+1}^{m+n}q_jX^j||\leq \sum_{j=m+1}^{m+n}|q_j|||X^j|| \leq \sum_{j=m+1}^{m+n}|q_j|||X||^j \rightarrow 0,$$ para $n\to \infty$ y cualquier $m\in\mathbb{N}$ ya que la serie de potencias $\sum_{j=0}^\infty q_jx^j$ se supuso que tenía un radio de convergencia infinito, por lo que converge absolutamente en todas partes. Como hemos demostrado que $(\sum_{j=0}^n q_jX^j)_{n \in \mathbb{N}}$ es una secuencia de Cauchy en el espacio completo $(\mathbb{R^{n \times n}}, ||\cdot||)$ la serie converge en todas partes (incluso absolutamente).

Así que ahora podemos definir $f(X)$ para cualquier serie de potencia función $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ . En particular, si $f$ es una función infinitamente diferenciable cuya serie de Taylor converge en $x_0\in \mathbb{R}$ a $f$ hemos definido $f(X)$ (después de cambiar $x \mapsto (x-x_0)$ ), y viene dada por $$f(X)=\sum_{j=0}^\infty \frac{f^{(j)}(x_0)}{j!}(X-x_0I)^j.$$ Al establecer $f=\exp$ , se obtiene la matriz exponencial de la que hablabas en tu pregunta.

Ahora, finalmente, si $X=\begin{bmatrix}x&1\\0&x\end{bmatrix}$ , entonces después de multiplicar algunas matrices se obtiene para $x\neq x_0$ $$f(X)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\begin{bmatrix}(x-x_0)^n&\frac{n}{(x-x_0)^{n-1}}\\0&(x-x_0)^n\end{bmatrix}.$$ Para $x=x_0$ se reduce al caso polinómico $$f(X)=f(x)\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}+f'(x)\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}.$$ Creo que tienes un error en tu pregunta porque para cualquier $x_0$ esto no concuerda con la expresión que has dado.

Answer 2

Creo que, tal y como menciona mathreadler en su comentario sobre la propia pregunta, efectivamente hay una errata y que la fórmula correcta puede escribirse

$f \left (\begin{bmatrix} x & 1 \\ 0 & x \end{bmatrix} \right ) = f(x)I + f'(x)N, \tag 0$

con $I$ y $N$ se explica en lo que sigue.

Supongo que $f(x)$ está representada por una serie de Taylor sobre $x = 0$ :

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{1}{2}f''(0)x^2 + \ldots = \displaystyle \sum_0^\infty \dfrac{1}{n!} f^{(n)}(0) x^n; \tag 1$

tenemos

$\begin{bmatrix} x & 1 \\ 0 & x \end{bmatrix}^n = \left ( \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \right )^n = \left ( x\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \right )^n; \tag 2$

ajuste

$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \tag 3$

y

$N = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \; N^2 = 0, \tag 4$

escribimos

$\begin{bmatrix} x & 1 \\ 0 & x \end{bmatrix}^n = (xI + N)^n; \tag 5$

desde $IN = NI$ (5) puede someterse a la expansión binomial ordinaria, y como $N^2 = 0$ los términos que contienen los poderes de $N$ mayor que el segundo se desvanecen; así

$\begin{bmatrix} x & 1 \\ 0 & x \end{bmatrix}^n = (xI + N)^n = x^nI + nx^{n - 1}N; \tag 6$

si lo sustituimos en (1) obtenemos

$f \left (\begin{bmatrix} x & 1 \\ 0 & x \end{bmatrix} \right ) = f(0)I + f'(0)(xI + N) + \dfrac{1}{2}f''(0) (x^2 I + 2xN) + \ldots$ $= (f(0) + f'(0)x + \dfrac{1}{2} f''(0)x^2 + \ldots)I + (f'(0) + f''(0)x + \ldots)N$ $= \displaystyle \sum_0^\infty \dfrac{1}{n!} f^{(n)}(0)(xI + N)^n = \sum_0^\infty \dfrac{1}{n!}f^{(n)}(0)(x^nI + nx^{n - 1}N)$ $= \displaystyle \sum_0^\infty \dfrac{1}{n!} f^{(n)}x^nI + \sum_1^\infty \dfrac{1}{n!} f^{(n)}nx^{n - 1}N$ $= \left ( \displaystyle \sum_0^\infty \dfrac{1}{n!} f^{(n)}x^n \right ) I + \left ( \displaystyle \sum_1^\infty \dfrac{1}{(n - 1)!} f^{(n)}x^{n - 1} \right )N; \tag7$

observamos que el coeficiente de $I$ es la serie de Taylor de $f(x)$ y la de $N$ es la serie Talylor de $f'(x)$ por lo tanto

$f \left (\begin{bmatrix} x & 1 \\ 0 & x \end{bmatrix} \right ) = f(x)I + f'(x)N. \tag 8$

Esta "expansión" es, de hecho, exacta en cualquier entero que contenga $0$ en la que la serie de Taylor para $f(x)$ y $f'(x)$ convergen.

Answer 3

La serie de Taylor puede expresarse como

$$ f(x + h) = f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2} f''(x) + \frac{h^3}{3!} f'''(x) + \dots $$

Dejar $x = xI_2$ y $ h = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

Vemos que $h^n = 0_{2\times2}$ para $n \geq 2$ .

Cediendo $$ f(x + h) = f(x) + hf'(x) $$

Esta es la motivación de los Números Dobles y la diferenciación automática.