Es la igualdad de dos fracciones ( como $2/10$ y $1/5$ ) realmente la igualdad o la equivalencia?

Question

En la lógica proposicional, no se podría decir correctamente que : $(A \& B) = (B \& A)$ .

La razón es sintáctica: el primer conjunto de $(A \& B)$ es $A$ mientras que el primer conjunto de $(B \& A)$ es $B$ . Así que las dos fórmulas no son idénticas, no son la misma fórmula.

Lo único que se puede decir es que las dos fórmulas son equivalentes.

Mi pregunta es: ¿este argumento sintáctico también es válido para las fracciones?

Observación. Escribo esta pregunta después de haber visto un vídeo de Herbert Gross donde expresa su reticencia a llamar a dos fracciones como $1/5$ y $2/10$ "igual". Según Gross, sería mejor llamarlos "equivalentes" en la medida en que "nombran el mismo número"

Observación. Yo sí no preguntar si la relación de equivalencia entre fracciones es la misma que la relación de equivalencia lógica "la fórmula X es verdadera en exactamente las mismas interpretaciones que Y". Mi pregunta es no :

¿"1/5 = 2/10 significa 1/5 <=> 2/10"?

Simplemente pregunto si el signo de igualdad entre fracciones debe leerse como una especie de aritmética equivalencia (no lógica, por supuesto).

Answer 1

Si $2/10$ y $1/5$ son equivalentes o iguales depende de cómo se defina el significado de la expresión formal " $a/b$ ".

Si $a/b$ es sólo una forma conveniente de escribir el par ordenado $(a,b)$ de los números enteros cuando se habla de los números racionales, entonces esas dos fracciones son equivalentes - definen el mismo número racional.

Si $a/b$ es sólo una forma de escribir el número racional que resuelve la ecuación $bx=a$ entonces esas dos fracciones son iguales.

En una aplicación pueden incluso no ser equivalentes. A los niños se les enseña a modelar " $1/5$ " como "cortar una tarta en $5$ partes y tomar $1$ de ellos". No es la misma operación física que "cortar un pastel en $10$ partes y tomar $2$ ". Esa falta de equivalencia es aún más clara en el caso de la conmutatividad de la multiplicación: dos niños con tres galletas cada uno no es lo mismo que tres niños con dos galletas cada uno aunque el número de galletas sea el mismo.

Answer 2

Construcción del campo de los números racionales $\mathbb{Q}$ de los enteros $\mathbb{Z}$ puede ayudar. En esta construcción, tratamos con clases equivalentes $[(a,b)]$ para $b\ne 0$ definido por $$[(a,b)]=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}-\{0\}): ay=bx\}. $$

Así, por ejemplo, la fracción $\frac{1}{5}$ es igual a la clase $[(1,5)]$ que también contiene infinitos elementos como $(2,10),(3,15),\ldots$ y todos estos elementos son una representación de la misma clase, a saber $\frac{1}{5}$ .

Answer 3

$\dfrac2{10}$ y $\dfrac15$ denotan el mismo número racional. Como racionales, son iguales. Como fracciones, a tu gusto.