Consecuencias del Teorema de los números Primos nos dicen que la probabilidad de $n$ siendo el primer es $1/\ln(n)$. Esto también significa que la cantidad de números primos entre $n$ e $n+\ln(n)$ está cerca de a $1$, pero no siempre. ¿Cuál es la probabilidad de que no hay prime entre $n$ e $n+\ln(n)$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto es en la actualidad una pregunta no se puede responder de manera incondicional; sin embargo, hay una heurística de respuesta, que podemos probar si asumimos otro resultado.
El ingenuo modelo probabilístico es que cada entero $k$ entre $n$ e $n+\log n$ independiente tiene una probabilidad $1/\log k \sim 1/\log n$ de primer. Según este modelo, la probabilidad de que ninguno de estos enteros son primos (como se menciona en el Sil del comentario) es $$ \prod_{n<k<n+\log n} \bigg( 1-\frac1{\log n} \bigg) \sim \bigg( 1-\frac1{\log n} \bigg)^{\log n} \sim e^{-1}. $$ Pero este modelo en realidad le da algo más: para cualquier entero no negativo $m$, la probabilidad de que haya exactamente $m$ números primos entre $n$ e $n+\log n$ es $e^{-1}/m!$. En otras palabras, los intervalos de esta longitud debe dar lugar a una distribución de Poisson. (Y esto se puede generalizar a los números primos entre $n$ e $n+C\log n$ para cualquier constante $C>0$.)
En 1976, Gallagher demostrado que este es de hecho el caso, si usted asume una adecuada versión fuerte de la de Hardy–Littlewood prime $k$-tuplas conjetura. Este papel de Goldston y Ledoan describe el resultado más precisamente en su primera página y da la referencia exacta.
Uno puede criticar el modelo ingenuo señalando que, adyacente enteros nunca puede tanto ser el primer, ni de tres números enteros consecutivos, etc. Pero más avanzado modelo probabilístico que tiene divisibilidad por pequeños números primos en cuenta, finalmente, conduce a la misma heurística respuesta. Y de Gallagher resultado muestra que el ingenuo heurística es correcta, en promedio, en esta escala (dudo que sería considerablemente menor escala, por ejemplo).
