¿Ejemplos de subgrupos en los que no es trivial mostrar el cierre en la multiplicación?

Question

Por lo general, cuando un subgrupo se declara, es trivial (o por lo menos sencilla, un estudiante de segundo año) para demostrar que es un subgrupo en la multiplicación. Por ejemplo:

• Homomórfica de imagen y preimagen de un subgrupo de
• Centro de
• Intersección de dos subgrupos
• Estabilizador de un punto en un grupo de acción
• Elementos finitos de la clase conjugacy
• $HN$, donde $H\leq G$ e $N\trianglelefteq G$

Estoy en busca de interesantes teoremas donde un subconjunto se afirma que es un subgrupo, pero es trivial comprobar. Estoy buscando algún tipo de estructura de la teoría de los subgrupos que se pueden definir para cualquier grupo (o una gran clase de los grupos), en lugar de ejemplos específicos que son difíciles de mostrar cierre.

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Puedo pensar sólo un ejemplo.

Deje $\Delta(G)$ ser los elementos finitos clase conjugacy (fácil de ver para ser un subgrupo), y deje $\Delta^+(G)$ ser su torsión subconjunto. Tenga en cuenta que $g$ ha finito clase conjugacy en $G$ si y sólo si $[G:C(g)]<\infty$ donde $C(g)$ es el centralizador.

$$\Delta^+(G):=\{g\in G : |\langle g\rangle|<\infty, [G:C(g)]<\infty\}.$$

Teorema: $\Delta^+(G)$ es cerrado bajo la multiplicación.

La prueba tarda 1-2 páginas de trivial cálculos. Si $a,b$ son de torsión, no es cierto que su producto $ab$ es de torsión --- pero, sorprendentemente, no es cierto si $a,b$ tiene sólo un número finito de conjugados.

¿Alguien tiene algún otro ejemplo?

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Prueba del Teorema, para los interesados. Usted puede ver desde el siguiente (no trivial) lema.

Lema (Dietzmann). Si $[G:Z(G)]<\infty$, a continuación, $[G,G]$ es finito.

Modulo la página de largo) prueba de esto, vamos a ver qué implica el teorema.

Deje $x,y\in \Delta^+(G)$ , de modo que $x,y$ han finito conjugacy clases y órdenes. Claramente $xy$ tiene un número finito de clase conjugacy, así que sólo tenemos que mostrar que tiene orden finito.

Deje $N$ ser el subgrupo generado por todos los conjugados de la $x$ e $y$, por lo que $N$ es finitely generado. A continuación, $N/N'$ es un grupo abelian generado por un número finito de torsión de los elementos, por lo tanto finito, por lo $[N:N']<\infty$. Así, es suficiente para mostrar la $N'$ es finito, porque entonces $N$ es finito, y desde $xy\in N$ esto completa la prueba.

Para mostrar $N'$ es finito utilizamos Dietzmann el Lema: aviso de $Z(N)=C_N(x)\cap C_N(y)$, y estos centralizadores han finito índice en $N$. Por lo tanto, $[N:Z(N)]<\infty$ y aplicamos Dietzmann del Lexema.

Esto ya era un poco larga e interesante argumento, y aún no hemos demostrado Dietzmann del Lema todavía!

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Edit: una pregunta relacionada es la siguiente. El nombre de cualquiera de las funciones de $\varphi:G\rightarrow H$ que son homomorphisms, pero es trivial para mostrar.

Answer 1

Particularmente, un buen ejemplo es el siguiente : supongamos que el grupo finito $G$ actúa sobre el conjunto finito $X$ de tal manera que cada elemento no trivial de $G$ tiene más de un punto fijo. Deje $S$ el conjunto de elementos de $G$ que no tienen puntos fijos. A continuación, $H=S\cup \{1\}$ es un subgrupo de $G$.

Creo que las únicas pruebas son la representación de la teoría (o al menos ese fue el caso en primera).

Answer 2

Considerar el grupo simétrico $S_n$ a $n\geq 2$ letras. La alternancia de grupo $A_n$ es el subgrupo de $S_n$ dado por todas las permutaciones de $S_n$.

Una prueba utiliza el signum o signo de la función $s:S_n\rightarrow\{\pm 1\}$ que se asigna a una permutación $\pi$, $+1$ si $\pi$ es aún, y $-1$ si $\pi$ es impar. Se puede demostrar que el signo de la función es un homomorphism, es decir, $s(\pi\sigma) = s(\pi)\cdot s(\sigma)$.

De ello se deduce que el producto de dos permutaciones es aún y así la multiplicación en $A_n$ está bien definido.

Answer 3

Sea $G=GL(4,k)$ (el grupo de todas las matrices invertibles $4\times4$ con entradas en un campo $k$ ) y sea $N$ el subgrupo de esas matrices $M\in GL(4,k)$ del formulario PS