Ejemplos de relaciones de equivalencia no triviales, me refiero a las relaciones de equivalencia sin la expresión "igual ... como" en su definición.

Question

Las relaciones definidas por las fórmulas tales como "x tiene la misma edad que y" , "x viene del mismo país y "tiene la misma imagen bajo la función f a b" son, obviamente, las relaciones de equivalencia, debido a la presencia de la expresión " mismo ...".

Hay muchos ejemplos de las relaciones de equivalencia que no contienen este "mismo ... como" la expresión y , en consecuencia, que no puede ser inmediatamente reconocidos como las relaciones de equivalencia?

Hay muchos ejemplos de las relaciones de equivalencia que , a primera vista, para alguien que lee su definición fórmula para la primera vez, no en todos los aspecto de las relaciones de equivalencia?

Lo que estoy buscando es de relaciones, tales como

"a es congruente a b ( modulo n) si n divide a a-b"

en la que no se ve " mismo ..." .

Answer 1

Como otras respuestas señalar que siempre es posible la frase de una relación de equivalencia como "tiene el mismo _" ... pero a veces, la única manera de hacerlo es comenzar con la equivalencia en relación a sí mismo y decir "la misma clase de equivalencia".

Un tipo importante de equivalencia relación tienen las definiciones de la forma "una cosa puede ser reversible en el otro por tal y tal tipo de transformación":

• Vamos dos curvas cerradas en algunos topológico, espacio de estar relacionado con si son homotópica.

  (Tienen la misma homotopy clase, pero homotopy clases se están definidos a través de esta relación).

• Permita que dos matrices cuadradas estar relacionado con si son similares.

  (O congruentes. O variantes de estas, donde se requiere que el cambio de base es en algún subgrupo en particular, de $GL_n$).

• Permita que dos elementos de un grupo, de ser relativa si están conjugados.

• Permita que dos conjuntos de ser relativa si existe un bijection entre ellos.

  (Tienen la misma cardinalidad, pero cardinalidad se define a través de esta relación).

• Vamos dos grupos estar relacionado con si son isomorfos.

  (O en realidad cualquier tipo de cosa que usted puede hablar de isomorphisms entre).

• Vamos dos poliedros ser relativa si se puede cortar en un número finito de menor poliedros y volver a montar para producir el otro.

  (Esta es en realidad la misma relación como "los dos poliedros tienen el mismo volumen y la misma Dehn invariante", pero que es un poco profunda resultado).

Alternativamente, usted puede hacer una equivalencia de la relación de tomar el simétrica parte de un gran preorder:

• Vamos dos fórmulas del cálculo proposicional estar relacionada si intuitionistic lógica demuestra que son equivalentes.

  (Con la lógica clásica que este sería el mismo como "definen a la misma verdad de la función", pero la situación para intuitionistic la lógica no es tan simple).

• Vamos dos secuencias infinitas de números naturales estar relacionada si cada uno de ellos es un subsequence de los otros.

  (Se siente plausible que uno puede rompecabezas de un equivalente de la caracterización con un "tiene el mismo _ como" el sabor que no se siente natural, pero no es inmediatamente claro qué es exactamente lo sería).

• Deje que los dos conjuntos de números naturales estar relacionada si cada uno de Turing es reducible a la otra.

  (Tienen el mismo grado de Turing, sino que se define a través de esta relación).

• Vamos dos funciones de los naturales a los naturales de estar relacionada si cada uno es Grande Oh de los otros como $n\to\infty$.

  (Tienen la misma tasa de crecimiento asintótica).

• Permita que dos conjuntos de estar relacionada si cada uno de ellos admite una inyección en el otro.

  (Esto es lo mismo que tener la misma cardinalidad, por el Cantor-Bernstein teorema. Pero eso no es bastante trivial).

• Vamos dos grupos estar relacionada si cada uno de ellos admite un inyectiva homomorphism en el otro.

  (Esta es no es la misma relación como ser isomorfo!)

Y aquí es un enfoque completamente diferente:

• Vamos dos funciones reales de ser relativa si coinciden en un barrio de $0$.

  (Tienen el mismo germen, pero que se define a través de esta relación).

• Elegir un libre ultrafilter en $\mathbb N$ y dejar dos secuencias de números reales que estar relacionado con si el conjunto de índices cuando se ponen de acuerdo es en la ultrafilter.

  (En este ejemplo se produce un ultrapower, que se utiliza en la no-estándar de análisis).

Algebraica de los cocientes son un poco de un caso de esquina. Usted puede definir la relación de equivalencia como "genera el mismo coset", pero por lo general es más natural pensar en ella como "la diferencia de los elementos es en la opción de kernel".

Answer 2

Como se ha comentado : cuando usted dice "igual que", por ejemplo con "x" tiene la misma edad que x" es como decir "una(x')=a(x)" ; de lo contrario, dijo, $x'$ e $x$ están en la misma pre-imagen de $a^{-1}(...)$, por ejemplo, $a^{-1}(21)$ si ambos $x$ e $x'$ 21. Hay "tantos" clases de equivalencia ya que existe pre-imágenes (ver figura de abajo).

En un sentido inverso, si usted tiene una relación de equivalencia sobre un conjunto determinado $S$, determina una partición de $S$ con el cardenal $C$ ("número de clases", con posibilidad de un sentido general). Usted siempre será capaz de construir una función de $f$ de $S$ a cualquier conjunto $T$ con cardinalidad $C$ como $\{1,2,...,n\}$ o $\mathbb{N}$, un intervalo de $[a,b]$, $[a,b)$ de $\mathbb{R}$, etc., tal que la de cualquier clase de equivalencia se asignan en el mismo elemento que podríamos llamar un (generalizada) "etiqueta".

Por lo tanto la respuesta a tu pregunta : todas las relaciones de equivalencia se puede poner en el mismo "molde" : $x'$ es equivalente a $x$ fib $x'$ tiene el mismo "etiqueta" como $x$.

Fig. 1 : de "mapeo" entre los elementos que pertenecen a clases de equivalencia en el conjunto de $S$ y "etiquetas" (set $T$). En esta forma de clases de equivalencia aparecen como "pre-imágenes" $a^{-1}(\ell)$ de las distintas "etiquetas".

Answer 3

Ciertamente, existen ejemplos de este tipo no-trivial de las relaciones de equivalencia. Por ejemplo, en la teoría de grafos, vamos a $G$ ser un (grafo) gráfico y definir la relación $\sim$ en su conjunto de vértices de la siguiente manera:

$a \sim b$ si y sólo si $a$ puede ser alcanzado de $b$ navegando a través de un número finito de la cadena de bordes en $G$.

Esta es una relación de equivalencia, como puede ser fácilmente demostrado por demostrar que es reflexiva, simétrica y transitiva, pero su definición no hace referencia a ninguna propiedad común compartida por todos los equivalentes de los vértices.

---

Por supuesto, como las otras respuestas han señalado, cualquier relación de equivalencia $\sim$ divide su dominio en clases de equivalencia, y siempre es posible recharacterize la relación como "$a \sim b$ si y sólo $a$ e $b$ pertenecen a la misma clase de equivalencia." En el caso particular de arriba, las clases de equivalencia incluso han establecido un nombre: se llaman los componentes conectados de $G$.

Pero tomar esa caracterización como la definición de $\sim$ , no tendría ningún sentido, ya que las clases de equivalencia se están definidos por la relación, y así, la definición de la relación por las clases de equivalencia sería circular!

Como una muestra más de su falta de trivialidad, cabe señalar que la relación se $\sim$ definido anteriormente, no necesariamente en una relación de equivalencia si $G$ fue un grafo dirigido: en ese caso, mientras que $\sim$ es todavía claramente reflexiva y transitiva, que puede o no puede ser simétrica. En realidad obtener una relación de equivalencia en ese caso, se necesita alguna manera de ajustar la definición a la fuerza para ser simétrico, por ejemplo, al exigir la existencia de una cadena de aristas en ambas direcciones (en cuyo caso las clases de equivalencia obtenidos de esta manera son fuertemente conectados los componentes de la gráfica).

Answer 4

En $\mathbb R$, considerar la relación binaria $R$ definido por $x\mathrel Ry$ si y sólo si $\lvert x-y\rvert<1$. Es fácil ver que es no una relación de equivalencia. Pero es una relación de equivalencia si nos restringimos a $\mathbb Z$.

Por supuesto, usted puede decir que es una relación de equivalencia en $\mathbb Z$ porque $x\mathrel Ry\iff x=y$. Pero no se puede evitar algo así como que: dado cualquier conjunto $A$ y cualquier relación binaria $R$ definido en $A$, $R$ es una relación de equivalencia si y sólo si existe una función de $f$ de $A$ en algunos de $S$ tales que$$(\forall a,b\in A):a\mathrel Rb\iff f(a)=f(b).\tag1$$In fact, if there is such a function $f$, then it is clear from $(1)$ that $R$ is an equivalence relation. And if $R$ is an equivalence relation, then let $S=\{\text{clases de equivalencia de }R\}$ and define$$\begin{array}{rccc}f\colon&A&\longrightarrow&S\\&a&\mapsto&\text{equivalence class of }a.\end{array}$$

Answer 5

Para un ejemplo fuera de las matemáticas, el cero de ley de la termodinámica establece

Si dos sistemas están en equilibrio térmico con un tercer sistema, entonces están en equilibrio térmico uno con el otro.

Desde la simetría de la relación de la siguiente manera trivial a partir de la definición, con esto se establece que el equilibrio térmico es una relación de equivalencia. Este se utiliza para definir la temperatura, los sistemas tienen la misma temperatura si están en la misma clase de equivalencia bajo el equilibrio térmico.