Deje $\Sigma_m$ denotar el cerrado conectado superficie orientable de género $m$. Deje $N_m$ denotar el cerrado conectado no-orientable de la superficie de género $m$.
Me preguntaba qué cíclico grupos pueden actuar libremente y correctamente de forma discontinua en $\Sigma_4$.
Es claro que este grupo debe ser finito. Así que las únicas posibilidades son $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Mediante el uso de Euler características, se puede demostrar que las únicas posibilidades son $n=1,2,3$ o 6.
No es difícil mostrar que $\Sigma_4$ es el orientable de cubierta doble de $N_5$. La cubierta de grupo de esta cubierta es $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
Considerando la simetría rotacional, también es bastante fácil de ver que $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ puede actuar en $\Sigma_4$. El cociente de esta acción es $\Sigma_2$.
Así que la pregunta que queda es: $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ actuar libremente y correctamente de forma discontinua en $\Sigma_4$?
Considerando las características de Euler, se puede demostrar que si tal acción se existe, entonces el cociente tendría que ser $N_3$.
Una cosa que yo consideraba era componer algunos de los que cubren los mapas que ya soy consciente de. Por ejemplo, podríamos componer la cobertura de mapa de $\Sigma_4 \rightarrow \Sigma_2$ (que viene de simetría rotacional) con el doble orientable cubriendo mapa de $\Sigma_2 \rightarrow N_3$. Esto daría un seis-toldo de cubierta $\Sigma_4 \rightarrow N_3$. Sin embargo, no es claro para mí que la cubierta de grupo es $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$.
Otra cosa que he considerado que estaba buscando epimorphisms $\varphi :\pi_1(N_3) \rightarrow \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$. Para cada una de las $\varphi$, existe una regular la cubierta de $N_3$ con cubierta de grupo $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$. Sin embargo, no es claro para mí que cualquiera de estas cubriendo espacios es orientable.
Cualquier visión se agradece.
