Estoy tratando de resolver esta integral, pero después de más de una hora no lo puedo entender. Yo he esbozado en mi forma de pensar a continuación.
$$ \int \dfrac{dx}{x^2\sqrt{4x^2+9}} $$
- Si dejamos $\ a=3 $$\ b=2 $, el radical en el denominador se ajusta a la forma $\ \sqrt{b^2+a^2x^2} $. Esto me hace pensar que esto es un trig subestación problema. Desde el aspecto de los radicales en el denominador $\sqrt{9+4x^2} $, esto parece un trigonométricas sustitución problema.
- Puedo hacer la sustitución de $\ x=\dfrac{3}{2}\tan\theta $$\ dx=\dfrac{3}{2}\sec^2\theta $. Luego tengo: $$ \int \dfrac{3}{2}\dfrac{\sec^2\theta}{\dfrac{9}{4}\tan^2\theta\sqrt{9+4(\dfrac{9}{4}\tan^2\theta)}}d\theta $$
- Me tire de las constantes de la integral por la constante múltiples regla: $$ \dfrac{12}{18} \int \dfrac{\s^2\theta}{\tan^2\theta\sqrt{9+4(\dfrac{9}{4}\tan^2\theta)}}d\theta $$
- Después de la simplificación de la radiand, llego $\sqrt{9(1+\tan^2\theta)}$, lo cual me permite eliminar el radical enteramente por la Identidad Pitagórica (también tirando de las 3 de el denominador): $$ \dfrac{2}{9} \int \dfrac{\s^2\theta}{\tan^2\theta \sec\theta}d\theta $$
- Entonces me tengo que quedar después de la cancelación de la $\sec\theta$, tanto en el numerador y el denominador. $$ \dfrac{2}{9} \int \dfrac{\sec\theta}{\tan^2\theta}d\theta $$
He probado todos los trig identidad conozco a intentar reescribir $\sec\theta$ $\tan\theta$ de una manera que me permite simplificar o hacer algo y yo estoy perdida en este punto. Puede alguien por favor ayuda me apunte en la dirección correcta?
