¿Es posible incrustar$\mathbb Z^n$ dentro de$ \mathbb Z^m$ como$\mathbb Z$ - módulo para$m < n$?

Question

¿Es posible incrustar$\mathbb Z^n$ dentro de$ \mathbb Z^m$ como$ \mathbb Z$ - módulo para$m < n$?

Creo que no es posible. Puede ser un problema fácil para algunos de ustedes, pero realmente no tengo una forma clara de mostrar esto. ¿Algunas ideas?

Answer 1

Dejar $m < n$. Si$\mathbb{Z}^n$ se incrusta en$\mathbb{Z}^m$, entonces los elementos de base$n$ linealmente independientes de$\mathbb{Z}^n$ se asignan a$n$ elementos linealmente independientes de$\mathbb{Z}^m$. El hecho de que sean linealmente independientes sobre$\mathbb{Z}$ implica que son linealmente independientes sobre$\mathbb{Q}$, en$\mathbb{Q}^m$. Pero como$\mathbb{Q}^m$ es un espacio vectorial de la dimensión$m < n$, no existen$n$ elementos linealmente independientes, contradicción.

Answer 2

Si$0\to\mathbb Z^n\to\mathbb Z^m$ es una secuencia exacta de$\mathbb Z$ - módulos, entonces$0\to S^{-1}\mathbb Z^n\to S^{-1}\mathbb Z^m$ es una secuencia exacta de$S^{-1}\mathbb Z$ - módulos, donde$S=\mathbb Z-\{0\}$, por lo tanto,$0\to\mathbb Q^n\to\mathbb Q^m$ es una secuencia exacta de$\mathbb Q$ - espacios vectoriales, por lo que$n\le m$.