Equivalencia de suma de coeficiente binomial

Question

Siguiendo una pregunta anterior, se supone que debo demostrar lo siguiente:$$ \sum_{i=0}^{n-1} \binom{2n-2-i}{n-1} = \sum_{i=0}^{n-1} \binom{n-1+i}{i}.$ $ ¿Hay alguna conversión simple que vaya del primer término al segundo?

Answer 1

Una forma ligeramente mejor de escribir lo que necesita mostrar (dejar$N=n-1$) es

PS

Usando la identidad$$\color{green}{\sum_{i=0}^{N} \binom{2N-i}{N}} = \color{blue}{\sum_{i=0}^{N} \binom{N+i}{i}}.$

PS

Answer 2

Tenga en cuenta que$$\binom{m}{i}=\binom{m}{m-i}.$ $ por lo tanto,$$\binom{2n-2-i}{n-1} = \binom{2n-2-i}{2n-2-i-n+1}=\binom{2n-2-i}{n-1-i}.$ $ en consecuencia,$$\sum_{i=0}^{n-1}\binom{2n-2-i}{n-1} = \sum_{i=0}^{n-1}\binom{2n-2-i}{n-1-i} = \binom{2n-2}{n-1}+\binom{2n-3}{n-2}+\cdots+\binom{n-1}{0}.$ $ Eso es$$\sum_{i=0}^{n-1}\binom{2n-2-i}{n-1} = \sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1+i}{i}.$ $

Answer 3

Desde que pide la "transformación", a continuación, considere la posibilidad de que $$ \bbox[lightyellow] { \eqalign{ & \sum\limits_{0\, \le \,i\, \le \,n - 1} { \left( \matriz{ 2n - 2 - i \cr n - 1 \cr} \right)} = \quad \quad (un.0) \cr & = \sum\limits_{0\, \le \,i\, \le \,n - 1} { \left( \matriz{ 2n - 2 - i \cr n - 1 - i \cr} \right) } = \quad \quad (un.1) \cr & = \sum\limits_{0\, \le \,i\,\left( { \le \,n - 1} \right)} { \left( \matriz{2n - 2 - i \cr n - 1 - i \cr} \right)} = \quad \quad (un.2) \cr & = \sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)\,i\,\left( { \le \,n - 1} \right)} { \left( \matriz{ 2n - 2 - i \cr n - 1 - i \cr} \right) \left( \matriz{ i \hfill \cr i \hfill \cr} \right)} = \quad \quad (un.3) \cr & = \left( \matriz{ 2n - 1 \cr n - 1 \cr} \right) \quad \quad (un.4) \cr} }$$ y $$ \bbox[lightyellow] { \eqalign{ & \sum\limits_{0\, \le \,i\, \le \,n - 1} { \left( \matriz{n - 1 + i \cr i \cr} \right) } = \quad \quad (b.0) \cr & = \sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)\,i\, \le \,n - 1} { \left( \matriz{ n - 1 + i \cr i \cr} \right) } = \quad \quad (b.1) \cr & = \sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)\,i\,\left( { \le \,n - 1} \right)} { \left( \matriz{ n - 1 + i \cr i \cr} \right)\left( \matriz{ n - 1 - i \cr n - 1 - i \cr} \right) } = \quad \quad (b.2) \cr & = \left( \matriz{ 2n - 1 \cr n - 1 \cr} \right) \quad \quad (b.3)\cr} }$$

donde:
- un.1) simetría : podemos hacerlo porque en la parte superior del término no es negativo para $0 \le i \le n-1$;
- un.2) límite superior de los soportes para significar que se puede quitar, ya que está implícito en el binomio;
- un.3) límite inferior entre paréntesis: es reemplazado por el adicional binomial;
- un.4) el doble de la convolución, se puede aplicar desde que el índice es libre de variar a lo largo de todo el rango permitido;
- b.1) límite inferior de los soportes : está implícito en el binomio$;
- b.2) límite superior de los soportes: se ha sustituido por el segundo binomio;
- b.3) el doble de convolución: el índice es libre de variar y se puede aplicar;

Answer 4

Obtenemos \begin{align*} \color{blue}{\sum_{i=0}^{n-1}\binom{2n-2-i}{n-1}} &=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{2n-2-i}{n-1-i}\tag{1}\\ &\,\,\color{blue}{=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1+i}{i}}\tag{2} \end {align *} y la reclamación sigue.

Comentario:

• En (1) usamos la identidad binomial$\binom{p}{q}=\binom{p}{p-q}$.

• En (2) cambiamos el orden de la suma$i\to n-1-i$.