Encuentre todos los enteros de manera que$2 < x < 2014$ y$2015|(x^2-x)$

Question

Encuentre todos los enteros,$x$, de modo que$2 < x < 2014$ y$2015|(x^2-x)$.

Lo factoré y ahora sé que$x > 45$ y hasta ahora he encontrado una solución:$(156)(155)= (2015)(12)$. Es solo que no creo que me esté acercando de la manera correcta.

Soy nuevo en este tipo de cosas y solo hago esto por diversión, ¿hay alguna ayuda por favor?

Answer 1

Usted necesita un par de piezas de información para completar este.

Primero de todo, una propiedad de los números primos: Si $p$ es un número primo tal que $p ~|~ ab$, $p~|~a$ o $p~|~b$. También se $2015=5 \cdot 13\cdot 31$.

Ahora, si $2015~|~N$,$5~|~N$. Desde $2015~|~x(x-1)$, $5~|~x$ o $5~|~(x-1)$; por lo tanto $x\equiv0\pmod5$ o $x\equiv1\pmod5$.

Continuar con los otros dos factores: $13~|~x(x-1)$, lo $x\equiv0\pmod{13}$ o $x\equiv1\pmod{13}$. Ahora hay cuatro posibilidades para $x$:

1. $x\equiv0\pmod5$ $x\equiv0\pmod{13}$
2. $x\equiv0\pmod5$ $x\equiv1\pmod{13}$
3. $x\equiv1\pmod5$ $x\equiv0\pmod{13}$
4. $x\equiv1\pmod5$ $x\equiv1\pmod{13}$

Al continuar con el 31 de factor, usted recibirá ocho posibilidades.

Esta es la segunda pieza de información que se necesita: El Teorema del Resto Chino: https://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem

Ahora, utilizar el Teorema del Resto Chino para encontrar $x\mod (5\cdot13\cdot31)$ para cada uno de los 8 casos, y encontrar las soluciones que están en el intervalo de $[2,2013]$. (Hay seis de ellos, uno de los cuales es 156.)

Answer 2

$2015=31\cdot13\cdot5$

Ahora, usted necesita cada uno de los números primos $31,13$ $5$ a ser un divisor de a $x$ o $x-1$. En otras palabras, usted necesita lo siguiente: $x\equiv 1$ o $x\equiv 0 \bmod 5,13,31$

No va a ser $8$ soluciones posibles, cada uno de ellos puede ser resuelto de una manera fácil, los únicos que no son posibles se $x\equiv 0\bmod 5,13,31$ $x\equiv1\bmod 5,13,31$ como iban a dar soluciones a $0$ $1$ que no están permitidos.

El otro $6$ combinaciones de proporcionar una solución de trabajo de cada uno.

Voy a trabajar a través de un ejemplo, los otros son análogos.

$x\equiv 0\bmod 5$

$x\equiv 1 \bmod 13$

$x\equiv 1\bmod 31$

escribir $x=5k$, ahora $5k\equiv 1\bmod 13$ $k\equiv 8\bmod 13$ (desde $8$ es la inversa de a $5\bmod 13$). A partir de aquí $k=13j+8$ $x=5(13j+8)=65j+40$

Ahora escribo $65j+40\equiv 1 \bmod 31\implies 3j\equiv-39\bmod 32\implies 3j\equiv23\equiv -8\bmod 31$, multiplicando por la inversa de a $3\bmod 31$ $21\equiv-10$ rendimientos $j\equiv80\equiv 18\bmod 31$. a partir de aquí $j=31m+18$

y por lo $x=65(31m+18)+40=2015m+1210$.

Por lo que esta combinación da $1210$ como respuesta, sólo $5$ otras combinaciones restantes.

Answer 3

Creo que el siguiente algoritmo puede ser útil:

1. Observar que $x^2-x=x(x-1)$. Ahora $x$ $x-1$ son coprime y luego, si $2015=ab$, $(a,b)=1$ puede suponer $a|x$ $b|x-1$
2. Para cada pareja fija $(a,b)$ de coprime divisores de 2015 a resolver por el CRT el sistema de af de congruencias: $x \equiv 0 \mod a$ ^ $ x \equiv 1 \mod b$. CRT da una solución única $\mod ab=2015$. Llamamos su clase $X$
3. Ahora sólo tienes que encontrar al representante de la clase de $X$$2$$2014$, si es que existen, para encontrar una $x$ que funciona.

Así que ahora sólo tienes que apllie este algoritmo a las 3 posibles par de coprime divisores de 2015, y para cada pareja sólo hay dos casos a examinar...