¿Pueden las propiedades de un polinomio sobre $\mathbb{Q}$ se trasladen a las propiedades de más de $\mathbb{R}$ ?

Question

La siguiente pregunta surgió al tratar de generalizar algunos enunciados combinatorios de $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{R}$ .

Supongamos que tengo un polinomio homogéneo multivariante $f$ con coeficientes en $\mathbb{Z}$ y sus ceros integrales se encuentran sólo en los ejes, es decir $f(\vec x) = 0 \implies$ alguna coordenada de $\vec x$ es 0.

Quiero demostrar que si miro $f$ como un polinomio sobre $\mathbb{R}$ entonces satisface allí la misma propiedad - sus ceros (esta vez, ceros reales) deben alinearse en los ejes. No estoy seguro de que sea cierto, pero estoy seguro de que es correcto en muchos casos y me dijeron que podría tener una prueba que utiliza la teoría de modelos (aunque prefiero una prueba "explícita"). Si esto es incorrecto, un contraejemplo estaría bien.

Nota: porque $f$ es homogénea, se puede ver que su principal propiedad se traslada a $\mathbb{Q}$ .

EDIT: Chris ha encontrado un bonito contraejemplo. ¿Se pueden caracterizar todos los contraejemplos de alguna manera? Chris también demostró que se puede encontrar un contraejemplo que es una suma de cuadrados.

¿Y el siguiente caso? $f$ es una suma de cuadrados de productos de hiperplanos, es decir $f = \sum P_i^2$ donde $P_i$ es un producto de formas lineales.

Answer 1

Esto no funciona. Por ejemplo, $x^2-2y^2$ .

Answer 2

Bueno, el polinomio $Y^2Z = X^3-XZ^2$ es la homogeneización de $y^2 = x^3-x$ una curva elíptica que no tiene más puntos racionales que los triviales $(0,0)$ y $(1,0)$ (esto no es difícil de demostrar). Así que los puntos integrales (proyectivos) en $Y^2 = X^3-XZ^2$ son:

• El "punto en el infinito" $(0,1,0)$

• Los puntos triviales $(0,0,1)$ y $(1,0,1)$

Sin embargo, hay ciertamente muchas soluciones reales no triviales que no están en ninguna parte 0, como $(2, \sqrt{6}, 1)$ .