Para calcular la integral impropia$\int_3^{5}\frac{x^{2}\, dx}{\sqrt{x-3}{\sqrt{5-x}}}$

Question

Me dan una integral impropia como

PS

DUDA

Veo que el problema está en los puntos finales, así que necesito dividir la integral. Pero el problema me parece que cuando dividí uno de los términos en el denominador que es$$\int_3^{5}\frac{x^{2}}{\sqrt{x-3}{\sqrt{5-x}}}dx$ se vuelve negativo. Entonces, ¿cómo puedo dividir la integral ? Ayuda amable

Gracias

Answer 1

Te sugiero que hagas $u=x-4$ para obtener una integral de$-1$$1$. Será $$ \int_{-1}^1\frac{(u+4)^2}{\sqrt{1-u^2}}\,du=\int_{-1}^1-\sqrt{1-u^2}+\frac{8u}{\sqrt{1-u^2}}+\frac{17}{\sqrt{1-u^2}}\,du. $$ El primer término en el integrando da $-\pi/2$, ya que ésta representa (menos) el área de un semicírculo. El segundo término da nada, ya que es raro, y el intervalo es aún. El último término da $$ \bigl[17\arcsen u\bigr]_{-1}^1=17(\pi/2-(-\pi/2))=17\pi. $$ Con todo, la integral es igual a $-\pi/2+17\pi=33\pi/2$.

Answer 2

Enfoque de la función beta

Sustituyendo$x\mapsto2x+3$, $$ \begin{align} &\int_3^5\frac{x^2\,\mathrm{d}x}{\sqrt{(x-3)(5-x)}}\\ &=\int_0^1\frac{(2x+3)^2\,\mathrm{d}x}{\sqrt{x(1-x)}}\\ &=\int_0^1\frac{(3(1-x)+5x)^2\,\mathrm{d}x}{\sqrt{x(1-x)}}\\ &=9\int_0^1\frac{(1-x)^2\,\mathrm{d}x}{\sqrt{x(1-x)}} +30\int_0^1\frac{(1-x)x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{x(1-x)}} +25\int_0^1\frac{x^2\,\mathrm{d}x}{\sqrt{x(1-x)}}\\ &=9\operatorname{B}\left(\frac52,\frac12\right) +30\operatorname{B}\left(\frac32,\frac32\right) +25\operatorname{B}\left(\frac12,\frac52\right)\\ &=9\cdot\frac38\pi +30\cdot\frac18\pi +25\cdot\frac38\pi\\ &=\frac{33}2\pi \end {align} $$ usando la función Beta .

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Subsidio trigonométrico

Después de la sustitución$x\mapsto2x+3$, podemos usar$x\mapsto\sin^2(x)$ $$ \begin{align} &\int_3^5\frac{x^2\,\mathrm{d}x}{\sqrt{(x-3)(5-x)}}\\ &=9\int_0^1\frac{(1-x)^2\,\mathrm{d}x}{\sqrt{x(1-x)}} +30\int_0^1\frac{(1-x)x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{x(1-x)}} +25\int_0^1\frac{x^2\,\mathrm{d}x}{\sqrt{x(1-x)}}\\ &=9\int_0^{\pi/2}2\cos^4(x)\,\mathrm{d}x +30\int_0^{\pi/2}2\sin^2(x)\cos^2(x)\,\mathrm{d}x +25\int_0^{\pi/2}2\sin^4(x)\,\mathrm{d}x\\ &=9\cdot\frac38\pi +30\cdot\frac18\pi +25\cdot\frac38\pi\\ &=\frac{33}2\pi \end {align} $$

Answer 3

Sugerencia:$$(5-x)(x-3)=(-x^2-15+8x)=(1-(x-4)^2)$ $ ahora deja$x=sint$ y te librarás de la raíz cuadrada. Y tenga cuidado con el rango, que cambia cuando cambia su variable.

Answer 4

Aviso, el siguiente

PS

En la resolución conseguimos

$$x^2=A(x-3)(5-x)+B(8-2x)+C$ $ Ahora, tenemos$$x^2=-(x-3)(5-x)-4(8-2x)+17$ $$$\int_{3}^{5}\frac{x^2dx}{\sqrt{(x-3)}\sqrt{(5-x)}}$ $$$=\int_{3}^{5}\frac{(-(x-3)(5-x)-4(8-2x)+17)dx}{\sqrt{(x-3)}\sqrt{(5-x)}}$ $$$=-\int_{3}^{5}\frac{(x-3)(5-x)dx}{\sqrt{(x-3)}\sqrt{(5-x)}}-4\int_{3}^{5}\frac{(8-2x)dx}{\sqrt{(x-3)}\sqrt{(5-x)}}+17\int_{3}^{5}\frac{dx}{\sqrt{(x-3)}\sqrt{(5-x)}}$ $$$=-\int_{3}^{5}\sqrt{(x-3)}\sqrt{(5-x)}-4\int_{3}^{5}\frac{(8-2x)dx}{\sqrt{8x-x^2-15}}+17\int_{3}^{5}\frac{dx}{\sqrt{1-(x-4)^2}}$ $$$=-\int_{3}^{5}\sqrt{1-(x-4)^2}-4\int_{3}^{5}\frac{(8-2x)dx}{\sqrt{8x-x^2-15}}+17\int_{3}^{5}\frac{dx}{\sqrt{1-(x-4)^2}}$ $$$=-\frac{1}{2}\left[(x-4)\sqrt{1-(x-4)^2}+\sin^{-1}\left(x-4\right)\right]_{3}^{5}-4\left[2\sqrt{1-(x-4)^2}\right]_{3}^{5}+17\left[\sin^{-1}(x-4)\right]_{3}^{5}$PS