Transformación de Fourier-Mukai: un primer ejemplo

Question

Supongamos que $X$ y $Y$ son esquemas de tipo finito sobre un campo, y sea $f: X\rightarrow Y$ sea un morfismo. Sea $\Gamma_f$ sea el subesquema cerrado de $X\times Y$ entonces el primer ejemplo de la transformada de Fourier-Mukai dice que $$f_*()=p_Y{_*}(p_X^*()\bigotimes_{\mathcal{O}_{X\times Y}}\mathcal{O}_{\Gamma_f}),$$ De forma similar, existe una expresión para $f^*$ . ¿Alguien ha comprobado esto antes? Estoy teniendo algunas dificultades (al menos en algunas álgebras conmutativas) para verificarlas. ¿Alguien sabe por qué esas fórmulas son verdaderas?

Answer 1

Debe utilizar el hecho de que $p_X^*(-)\otimes_{\mathcal{O}_{X\times Y}}\mathcal{O}_{\Gamma_f}\cong i_*(p_X|_{\Gamma_f})^*(-)$ donde $i:\Gamma_f\to X\times Y$ es la inclusión. Entonces la declaración se hace mucho más fácil.

Answer 2

En efecto, como se desprende de los comentarios de abajo, mapas entre los planes de proporcionar ejemplos de transformadas de Fourier-Mukai transformar, el ejemplo más famoso es similar mapa adicional a torcer por un paquete en $A\times \hat A$ por un Abelian variedad $A$.

De todos modos, dado que la restricción $p'_X:\Gamma_f\to X$ es en realidad un isomorfismo (la inversa de la es $x\mapsto (x, f(x))$) y la composición de la $p_Y\circ {p'_X}^{-1}: X \to \Gamma_f \to Y$ es exactamente $f$, la declaración de que usted ha escrito es en realidad equivalente a $f_* () = f_*()$. Por lo tanto no hay ningún disco duro álgebra conmutativa cosas.