Característica de un anillo finito con $34$ unidades

Question

Deje $R$ ser un anillo finito tal que el grupo de unidades de $R$, $U(R)$, ha $34$ elementos. Me gustaría encontrar la característica de $R$.

Deje $k:= \mathrm{Char}(R)$. Si $\varphi$ denota el de Euler totient, a continuación, $\varphi(k)$ divide $34$, por lo tanto $k\in \{2,3,4,6\}$. Creo que es posible descartar que algunos de estos valores, pero no estoy seguro de cómo. Y si pudiéramos gobernarlos a todos, incluso mejor, entonces no hay tal anillo. Cualquier idea se agradece.

Answer 1

No hay finito anillo con $34$ unidades (asumo que todos los anillos son conmutativas, con $1$). En primer lugar, recordemos el siguiente hecho sobre los anillos: $\newcommand{\char}{\operatorname{char}}$ $\newcommand{\m}{\mathfrak{m}}$ $\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}$

La proposición: Vamos a $(R,\m)$ ser un anillo local. A continuación, $\char R = p^n$ para algunos de los mejores $p$, $n \in \mathbb{N}$.

Prueba (integridad): Si $\char(R/\m) = 0$,$\char R = 0$. Si $\char(R/\m) = p$ para algunos prime $p$, entonces bajo el anillo único mapa de $i : \Z \to R$,$i(p) \in \m$, lo $i^{-1}(\m)$ es un alojamiento ideal que contiene a $p$, lo $i^{-1}(\m) = (p)$, y hay un inducida por el mapa de $\overline{i} : \Z_{(p)} \to R$. Como $\Z_{(p)}$ es un DVR, de todos los ideales de a $\Z_{(p)}$ es de la forma $p^n\Z_{(p)}$, por lo que para algunos $n$, $\Z_{(p)}/p^n\Z_{(p)} \hookrightarrow R$, por lo tanto $\char R = \char(\Z_{(p)}/p^n\Z_{(p)}) = p^n$ (desde característica puede ser calculado en cualquier sub-anillo).

Volviendo al problema, supongamos $R$ es un anillo finito con $34$ unidades, y que $|R|$ es el mínimo entre todos los ejemplos. A continuación, $R$ es Artinian, por lo tanto $R \cong \prod_{i=1}^n R_i$ es un producto finito de Artinian local de los anillos. A continuación,$34 = |R^\times| = \prod_{i=1}^n |R_i^\times|$. Ignorando los factores de con $|R_i^\times| = 1$, podemos suponer que $|R_i^\times| \ge 2$ por cada $i$, lo que implica $n \le 2$. Si $n = 2$, entonces el WLOG $|R_1^\times| = 17$, pero no finito anillo de ha $17$ unidades (si un número finito de anillo tiene un número impar de unidades, el número debe ser un producto de términos de la forma $2^k - 1$, véase, por ejemplo, los vinculados papel más abajo). Por lo tanto $n = 1$, lo $R$ sí es Artinian local con ideal maximal $\m$. A continuación,$|R| = |\m| + |R^\times| = |\m| + 34 \implies \dfrac{34}{|\m|} = |R/\m| - 1 \in \Z$, lo $|\m| = 1, 2, 17, 34$.

Si $|\m| = 1$, luego $\m = 0$, $R$ es un campo, y $|R| = 1 + 34 = 35$, pero en el campo no ha $35$ elementos.

Si $|\m| = 2$,$|R/\m| = 17 + 1 = 18$, pero en el campo no ha $18$ elementos.

Si $|\m| = 17$,$|R| = 51$, por lo que el grupo aditivo de $R$ es un grupo de orden $51$. El único grupo es el grupo cíclico de orden $51$, lo $(R, +) \cong \Z/51\Z$, por lo tanto $\char R = 51$, lo que contradice la proposición.

Si $|\m| = 34$, luego $|R| = 68$, $|R/\m| = 2$, por lo $2 \mid \char R$. Pero el grupo aditivo de $R$ es un grupo abelian de orden $68$, que tiene un elemento de orden $17$, lo $17 \mid \char R$ también, que a su vez contradice la proposición.

Mucho más en este sentido, véase este documento.