¿Cómo encuentro este límite:$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^4-3x^2-1}-x^2$

Question

$$ \ lim_ {x \ to \ infty} \ sqrt {x ^ 4-3x ^ 2-1} -x ^ 2 $$

La respuesta es $$ \ frac {-3} {2} $$ según Wolfram alpha .

Answer 1

Consideraría$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^4-3x^2-1}-x^2$ $ como$$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{x^4-3x^2-1}-x^2}{1}$ $

Luego multiplique$\sqrt{x^4-3x^2-1}+x^2$ arriba y abajo para deshacerse del ridículo signo de raíz cuadrada en la parte superior. Entonces bingo!

Answer 2

Poniendo$x=\frac1h$ como$x\to\infty, h\to0$

PS

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Answer 3

Primero, sustituye:$t=x^2$, obtienes:

PS

Explicación: primero usamos esta identidad para$$\lim_{t\to +\infty} \sqrt{t^2-3t-1}-t=\lim_{t\to \infty} \frac{-3t-1}{\sqrt{t^2-3t-1}+t}=\lim_{t\to \infty} \frac{-3-\frac{1}{t}}{\sqrt{1-\frac{3}{t} -\frac{1}{t^3}}+1} =\frac{-3}{2}. $:$a\neq -b$, luego factorizamos$a-b =\frac{a^2-b^2}{a+b}$ desde el numerador y el denominador, el límite del numerador es$t$ y el límite de el numerador es$-3$.

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Además, para cualquier real$2$:$a,b$ $

Answer 4

Sugerencia: ¿Puede relacionar la expresión debajo del signo raíz con$x^2$ de alguna manera? Eso podría hacer que sea más fácil ver dónde va el valor como$x\to\infty$.