El espacio de cocción de un espacio de Hausdorff es también un espacio de Hausdorff.

Question

Estoy tratando de aprender la topología, pero no sé cómo prueba de este problema.

Deje $X$ ser un espacio de Hausdorff, ~ una relación de equivalencia y $\pi:X \a X/{\sim}$ the canonical map. $X/{\sim}$ es también Hausdorff, si existe una función continua $s:X/{\sim} \to X$, de tal manera que $\pi \circ s=\textrm{Id}_{X/{\sim}}$

He leído que la diagonal de un espacio de Hausdorff es cerrado con respecto a la topología producto, pero no sé cómo proceder, o por dónde empezar

Answer 1

Yo haría de esta manera (dejando $Y$ representan el cociente del espacio de $X/\sim$):

• En primer lugar, utilice el hecho de que $\pi\circ s$ es la identidad en $Y$ (por lo tanto es uno-a-uno) para demostrar que $s$ es uno-a-uno.
• Siguiente, dejando $Z$ ser la imagen de $s,$ tenga en cuenta que $Z$ es un subespacio de $X,$ así es Hausdorff.
• Finalmente, muestran que $\pi\restriction Z$ es la inversa de a$s.$ Ya que tanto $s$ e $\pi\restriction Z$ son continuos, lo que significa que $s$ es un homeomorphism de $Y$ a $Z,$ así que desde $Z$ es Hausdorff, por lo que es $Y.$

Answer 2

Tenga en cuenta que $s:X/_\sim\to \operatorname{im}s$ y $\left.\pi\right\rvert_{\operatorname{im} s}:\operatorname{im} s\to X/_\sim$ son mapas continuos, y son uno a la inversa del otro (esto es cierto teóricamente establecido). Por lo tanto, $X/_\sim$ es homeomorfo a $\operatorname{im}s\subseteq X$ , que hereda la propiedad Hausdorff.