Casco convexo cerrado de secuencia convergente débil.

Question

Le $H$ ser un espacio de Hilbert y Supongamos $x_n$ converge débilmente a $x$ en $H$. Deje $K_n$ ser cerrada convex hull $\bar{co}\{x_k:k\geq n\}$. Me gustaría mostrarles $\bigcap K_n=\{x\}$.

Lo que sabemos hasta ahora es que para el conjunto convexo a los débiles de cierre es el mismo como norma de cierre en la $H$. $x$ es claramente en $K_n$, ya que es en la debilidad de cierre de la cola $\{x_k:k\geq n\}$ por cada $n$. Pero, ¿cómo puedo demostrar que $x$ es el único elemento en $\bigcap K_n$?

Answer 1

Desde $x_n$ converge débilmente a $x$, se tiene para cada $a \in H$. $$\lim_{n \to \infty} \langle a, x_n \rangle = \langle a, x \rangle.$$ En consecuencia, uno tiene $$\lim_{n \to \infty} \sup_{z \in K_n} |\langle z, a\rangle - \langle x, a \rangle| = 0.$$ Esto implica para $y \in \bigcap K_n$, se tiene para cada $a \in H$ $$\langle y, a \rangle = \langle x, a \rangle,$$ que los rendimientos de $y = x$.

Answer 2

Supongamos $\langle \phi, y \rangle \le \alpha$ para todos los $y \in K_n$, luego $\langle \phi, x \rangle \le \alpha$. En particular, $x \in K_n$ para todos los $x$ y por lo $x \in \cap_n K_n$.

Supongamos $z \neq x$, entonces hay algunas $\phi$ tales que $\langle \phi, z \rangle > \langle \phi, x \rangle $, y desde $\langle \phi, x_n \rangle \to \langle \phi, x \rangle$, podemos ver que $z \notin K_n$ para $n$ suficientemente grande y, por tanto, $\cap_n K_n = \{x\}$.