¿Cuál es el "papel" de los funcionales lineales en el álgebra lineal?

Question

En primer lugar, pido disculpas si mi pregunta no tiene sentido ya que es a menudo el caso con este tipo de pregunta. Voy a intentar describir lo que me molesta en el mejor nivel de detalle que puedo y estoy totalmente de entender si no resulta ser no "responder". A menudo me siento en la necesidad de una "narrativa" de por qué los conceptos se organizaron/construido de la manera que son.

He hecho un curso básico de álgebra lineal - como es costumbre - se centró en los cálculos y ahora estoy haciendo el más maduro curso de álgebra lineal. He perdido un poco cuando leí acerca lineal funcionales. Precisamente, ¿por qué necesitamos de ellos y por qué los autores frecuentemente dicen que son muy importantes?

Mi conjetura es la siguiente: Estamos tratando de escribir algebraicas lineales ideas completamente en términos de transformaciones lineales. Supongo que este es el caso, ya que los vectores se definen como:

$$\textbf{x}=\sum_i a_i(\textbf{x}) \textbf{x}_i$$

Donde $a_i(\textbf{x})$ son lineales funcionales, en lugar de:

$$\textbf{x}=\sum_i a_i \textbf{x}_i$$

Donde $a_i$ son "meramente" elementos de la base de campo.

Mi nueva duda es (suponiendo que mi suposición es correcta): ¿Qué ganamos con esto? Parecen equivalentes a mí, pero parece que hay una descripción de la interacción entre los dos espacios vectoriales $\Bbb{V}$ e $\Bbb{V}^*$ y también una descripción de lo que sucede en $\Bbb{V}^*$ cuando se aplica una transformación lineal en $\Bbb{V}$. ¿Por qué no ir junto con la segunda interpretación que me dio? Tal vez, lo que "ganancia" es que no es una simple descripción cuando hacemos cambios entre dos radicalmente diferentes espacios vectoriales y estos cambios son más fáciles de "rastreable" cuando todo lo que está escrito en términos de transformaciones lineales?

Answer 1

Su conjetura es una gran parte de la razón; algebraists prefieren asigna a los elementos. Ver la discusión de dobles y compacto categorías en la piedra de Rosetta.

En un plano más concreto, si se trabaja sobre un anillo conmutativo (en lugar de un campo), las declaraciones

• "cada vector $\mathbf{x}$ puede ser escrito como $\mathbf{x} = \sum_i a_i\left(\mathbf{x}\right) \mathbf{x}_i$, donde el $a_i$ son lineales mapas para el anillo de la base, independiente de $\mathbf{x}$"

y

• "cada vector $\mathbf{x}$ puede ser escrito como $\mathbf{x} = \sum_i a_i \mathbf{x}_i$, donde el $a_i$ son escalares que dependen de $\mathbf{x}$"

(donde, en ambos casos, $I$ fijo es un conjunto finito, y el $\mathbf{x}_i$ son fijos vectores independientes de $\mathbf{x}$) no son equivalentes. La anterior afirmación tiene si y sólo si el módulo es proyectiva finitely generado (con $\left(\mathbf{x}_i\right)$ e $\left(a_i\right)$ ser "dual de sistemas de generación"), mientras que el segundo tiene si y sólo si el módulo es finitely generado. Por lo que requieren de los coeficientes $a_i$ seguir un mundial de patrón lineal, frente a lo que les permite arbitrariamente dependen $\mathbf{x}$, que hace una diferencia.