O grande / correcto o incorrecto?

Question

Tengo que decidir, si el siguiente teorema es correcto o incorrecto. Hay funciones, que satisface las siguientes condiciones:

$ f(n) \in \mathcal{O}(h(n)) $ e $ g(n) \in \mathcal{O}(h(n))$

Ahora debe tener: $$ \frac{f(n)}{g(n)} =\mathcal{O}(1) $$

Por definición de recibir: $f(n) \leq c_1 \cdot h(n) \ \forall n\geq N$ e $g(n) \leq c_2 \cdot h(n) \ \forall n\geq N'$

Así, $$ \frac{f(n)}{g(n)} = \frac{c_1}{c_2} \cdot 1 \ \forall n\geq max\{N,N'\}$$

No estoy seguro. g(n) puede ser 0. ¿Qué te parece?

Answer 1

No puede pasar de $f \leqslant c_1 h$ y $g \leqslant c_2 h$ a $\frac{f}{g} = \frac{c_1}{c_2}$ .

Y el reclamo inicial es falso. Tomemos, por ejemplo, $f(n) = h(n) = n^2$ , $g(n) = n$ .

Answer 2

Considere $f(n)=h(n)=1$ y $g(n)=1/n$ .