$E$ está de hecho cerrado. Toma $x = \overline {0.a_1a_2 \cdots } \in E^ \complement $ donde el $n$ -un decimal $a_n \in \{0, \dots ,9\}$ para todos $n \in \Bbb {N}$ . Desde $x \notin E$ existe $m \in \Bbb {N}$ de tal manera que $a_m \notin \{4, 7\}$ . Elijamos el menos posible valor de $m$ y elegir $r$ suficientemente pequeño para que $B_r(x) \subseteq E^ \complement $ definiendo $r = \color {red}{ \frac {1}{100} \min }\{|x - c_i| \mid i \in \{1, \dots ,4\}\}$ . Observa que $E$ está "localmente limitado" por los intervalos $[c_1,c_2]$ y $[c_3,c_4]$ .
$$ \bbox [36px, yellow, border: 2px solid red]{ \begin {array}{rrrrrrrrrr} \rlap { \style {display: inline-block; transform: scale(10,1)}{-}} { \Large [} & { \large \bullet } & \llap { \style {display: inline-block; transform: scale(10,1)}{-}} { \Large ]} & { \style {display: inline-block; transform: scale(10,1)}{-}} & { \Large |} { \style {display: inline-block; transform: scale(10,1)}{-}} & { \style {display: inline-block; transform: scale(10,1)}{-}} { \Large |} & { \style {display: inline-block; transform: scale(10,1)}{-}} & \rlap { \style {display: inline-block; transform: scale(10,1)}{-}} { \Large [} & { \large \bullet } & \llap { \style {display: inline-block; transform: scale(10,1)}{-}} { \Large ]} \\ c_1 & \begin {matrix} \uparrow \\ E \end {matrix} & c_2 & \rlap { \small\overline {0.a_1a_2 \cdots a_{ \color {red}{m-1}}5/6}} & & & & c_3 & \begin {matrix} \uparrow \\ E \end {matrix} & c_4 \end {array}} \\ \text {Figure 1: range of possible values of numbers in $ E $}$$
- $c_1 = \overline {0.a_1a_2 \cdots a_{ \color {red}{m-1}} \color {red}{4}4}$
- $c_2 = \overline {0.a_1a_2 \cdots a_{ \color {red}{m-1}} \color {red}{4}8}$
- $c_3 = \overline {0.a_1a_2 \cdots a_{ \color {red}{m-1}} \color {red}{7}4}$
- $c_4 = \overline {0.a_1a_2 \cdots a_{ \color {red}{m-1}} \color {red}{7}8}$
Recuerde que $x = \overline {0.a_1a_2 \cdots a_{ \color {red}{m-1}} a_m a_{m+1} a_{m+2} \cdots }$ así que $$r \le \frac {44 \cdot 10^{-(m+1)}}{100} < \frac {50 \cdot 10^{-(m+1)}}{100} = \frac {5}{10^{m+2}}.$$ Cuando sumamos/menos $r$ a/desde $x$ el nuevo número $x \pm r$ " no lo hará difieren demasiado de $x$ ". Considere $x - r$ ( o $x + r$ ). Se da cualquiera de los siguientes casos:
- el $m$ -el decimal es todavía $a_m \notin \{4,7\}$ así que $x - r \notin E$ .
- el $m$ -el decimal es cambiado por $1$ (dígito $0 \to 9$ también cuenta). A necesario La condición para que esto suceda es que $a_{m+1} \in \{0,9\}$ . (Para ver esto, imagina ejemplos como $0.95 + 0.05 = 1$ .) En este caso, el $(m + 1)$ -el decimal de $x-r$ sería o bien $0$ o $9$ así que $x - r \notin E$ .
Por lo tanto, cualquier número en $B_r(x)$ no puede pertenecen a $E$ . Por lo tanto, $E^ \complement $ está abierto y $E$ está cerrado. Desde $E$ está limitada, el Teorema de Heine-Borel nos dice que $E$ es compacto.
Su error es la deducción errónea de " $B_r(x)$ debe contener un número, al menos uno de cuyos dígitos contiene $4$ o $7$ "a" $E^ \complement $ es no abierto". Ser miembro de $E$ el decimal $y \in B_r(x)$ debería consistir simplemente en dígitos $4$ y $7$ no sólo "al menos un" dígito.
Observaciones: La elección de $r$ es un poco difícil y la verificación es un poco tedioso pero sigue siendo doable .
$E$ es un conjunto perfecto. La idea es que $$0.4 \overset { \bullet }{7}, 0.44 \overset { \bullet }{7}, 0.444 \overset { \bullet }{7}, \cdots \to 0. \overset { \bullet }{4}.$$ Cada término $0.4 \dots4\overset { \bullet }{7}$ en el LHS contiene dígitos $7$ así que es diferente de la RHS $0. \overset { \bullet }{4}$ y por lo tanto se encuentra en un eliminado barrio de $0. \overset { \bullet }{4}$ . Para terminar la prueba, sólo repita esta idea para cualquier $x \in E$ .
Para cualquier $x = \overline {0.a_1a_2 \cdots } \in E$ Voy a construir una secuencia $(y_n)_n$ en $E$ para que $ \lim\limits_n y_n = x$ . Para todos $n \in \Bbb {N}$ define $y_n = \overline {0.b_1b_2 \cdots b_{m-1} b_m b_{m+1}}$ donde $$b_m = \begin {cases} a_m \quad & \text { if } m \le n \\ \max (\{4,7\} \setminus\ {a_m\}) & \text { if } m > n \end {cases}.$$ $ \require {HTML}$ $$ \bbox [yellow, 5px, border: 2px solid red]{ \begin {array}{rrrrrrrrrr} x & = & 0. & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & a_n & a_{n+1} & \cdots \\ \style {display: inline-block; transform: rotate(90deg)}{ \ne } & & & \style {display: inline-block; transform: rotate(90deg)}{=} & \style {display: inline-block; transform: rotate(90deg)}{=} & \style {display: inline-block; transform: rotate(90deg)}{=} & \style {display: inline-block; transform: rotate(90deg)}{=} & \style {display: inline-block; transform: rotate(90deg)}{=} & \style {display: inline-block; transform: rotate(90deg)}{ \ne } & \style {display: inline-block; transform: rotate(90deg)}{ \ne } \\ y_n & = & 0. & b_1 & b_2 & \cdots & b_{n-1} & b_n & b_{n+1} & \cdots \end {array}} \\ \text {Figure 2: construction of approaching sequence $ (y_n)_n $ in $ E' $ from $ x \in E $} $$ Está claro que para todos $n \in \Bbb {N}$ , $y_n \ne x$ y $y_n \in E$ pero $ \lim\limits_n y_n = x$ así que $x \in E'$ .
Una posible causa de su error: Ya que su respuesta a la pregunta anterior es incorrecta podrías pensar que $E$ es no cerrado, por lo que existe una secuencia $(y_n)_n$ en $E$ "escapando" de $E$ así que podría existir un punto límite $y$ no en $E$
