Intuición de la divergencia y del rizo.

Question

No es la bien conocida expresión de la divergencia de un campo vectorial $V$ como el límite de los más pequeños y pequeñas superficies de flujo de una superficie.

Sin embargo se me ocurrió que hay otra manera de describir la divergencia que yo no podía entender cómo a buscar para leer más acerca o incluso averiguar si es correcto.

Si $V = \sum V^i e_i$ es un campo de vectores se describe en el estándar, entonces la derivada es $$\sum_{i,j}\partial_jV^i e^j\otimes e_i$$ The trace of this is the divergence. Now from what I understand of the trace $\sum\partial_iV^i$ it is proportional to averaging the tensor over all all unit vectors $v$ and their corresponding forms $w$ en el siguiente sentido. $$\text{div}(V) = \text{tr}(\sum_{i,j}\partial_jV^i e^j\otimes e_i) \propto \int_C (\sum_{i,j}\partial_jV^i e^j\otimes e_i)(v,w)$$ donde $C$ es el círculo unitario y $w$ es $v$ como una forma. Concretamente con $v=(\cos\theta,\sin\theta)$ , entonces esto se convierte en $$\int_0^{2\pi} \partial_1V^1\cos^2\theta + \partial_1V^2\cos\theta\sin\theta +\partial_2V^1\cos\theta\sin\theta +\partial_2V^2\sin^2\theta d\theta$$ Los términos con $\sin\theta\cos\theta$ evaluar a 0. Así que esto le da $$c(\partial_1V^1 +\partial_2V^2)$$ para una constante $c$.

La integral inicial puede ser interpretado como diciendo para cada dirección en la que nos fijamos en la derivada de la $V$ en esa dirección $v$ y, a continuación, proyecto que a $v$ (este es el papel de $w$ obras de teatro). Dicho de otra manera, este es el campo de vectores de cambios en la dirección $v$ , pero sólo la parte a lo largo de $v$ y sólo la magnitud del cambio. Y luego nos especie de promedio en todas las direcciones. Esto es diferente de la habitual de flujo sobre la superficie de la descripción en la que en primer lugar se aborda la derivada del vector de campo mientras que la integral del flujo no se ocupa de la derivada del vector de campo.

Hay una descripción como esta para que el rizo?

Answer 1

El curl de un campo de vectores sólo está definido en tres dimensiones.

Imagina un pequeño círculo perpendicular al vector $e_i$. El $e_i$ componente de la curvatura, $(\nabla \times V)\cdot e_i$, puede ser descrito como el promedio de todos los puntos de $v$ en ese círculo de la derivada de $V$ en la dirección hacia la izquierda tangente al círculo en $v$.

Por ejemplo, supongamos que queremos encontrar la componente z de curl y tenemos un círculo unitario en el plano xy parametrizarse como $v(\theta)=(\cos\theta, \sin \theta)$. A la izquierda de la tangente de los vectores de $w(\theta)=(-\sin\theta, \cos\theta)$. Este componente z es proporcional a

$\displaystyle \int_0^{2\pi} \partial_iV^j v_iw_j \mathrm{d}\theta=\int_0^{2\pi} (-\partial_1V^1 \cos\theta\sin\theta +\partial_1V^2\cos^2\theta-\partial_2V^1\sin^2\theta+\partial_2V^2\sin\theta\cos\theta)\ \mathrm{d}\theta=c(\partial_1V^2-\partial_2V^1)$