Es más fácil pensar sobre el problema de la llanura en la otra dirección: desde el pasado hasta el presente. En primer lugar, debemos introducir algunas cantidades: $$E \equiv \frac{H}{H_0},\qquad \bar{\Omega} \equiv \Omega E^2, \qquad \bar{\Omega}_k \equiv \Omega_k E^2, \qquad \Omega_k \equiv -\frac{k}{a^2H^2},$$ where $H_0$ refers to the the Hubble constant today, i.e., $H_0 \equiv H(a_0)$ and $a_0$ representing the scale factor today. In these variables $\bar\Omega + \bar\Omega_k = E^2$, $\bar\Omega(a_0) = \Omega(a_0)$ and $\bar\Omega_k(a_0) = \Omega_k(a_0)$.
Es fácil ver que $\Omega \propto \rho$, y por lo tanto, para un fluido con diferentes constantes de la ecuación de estado $w$, $$\bar\Omega_w = \Omega_{w0}\left(\frac{a_0}{a}\right)^{3(1+w)},\qquad \Omega_{w0} \equiv \Omega_w(a_0).$$ If the only component of the universe is the $w$ fluid, then, $\Omega = \Omega_w$. To simplify it further, lets choose a dust like fluid $\Omega_m$ with $w = 0$ (however, the argument bellow is valid for any combination of components with equations of state larger than $-1/3$).
Ahora, supongamos que inicialmente $\vert\Omega-1\vert$ es muy cercano a uno, es decir, para un valor inicial del factor de escala $a_i$, tenemos $$\Omega_{mi} \equiv \Omega_m(a_i) = 1-10^{-5}, \qquad \Omega_{ki} \equiv \Omega_k(a_i) = 10^{-5}.$$ En términos de estas primeras densidades tenemos,
$$\Omega_m = \frac{\Omega_{mi}(a_i/a)^{3}}{\Omega_{mi}(a_i/a)^{3} + \Omega_{ki}(a_i/a)^{2}} = \frac{1}{1+\alpha a / a_i}, \quad \Omega_k = \frac{\Omega_{ki}(a_i/a)^{2}}{\Omega_{mi}(a_i/a)^{3} + \Omega_{ki}(a_i/a)^{2}} = \frac{\alpha a / a_i}{1+\alpha a / a_i},$$ where we defined $\alpha = \Omega_{ki} / \Omega_{mi}$. Putting these initial conditions around the nucleosynthesis epoch, we have $a_i \aprox 10^{-10}a_0$ y, en consecuencia,
$$\Omega_{m0} \approx \frac{1}{1+\alpha 10^{10}} \approx 10^{-5}, \qquad \Omega_{k0} \approx \frac{\alpha 10^{10}}{1+\alpha 10^{10}} \approx 1.$$ The situation is completely reversed, in this case today we would have an universe completely dominated by curvature. To avoid this, we would need $\alpha \ll 10^{-10}$, i.e. $\Omega_{ki} \ll 10^{-10}$.
Ahora, podemos responder a sus preguntas:
- No importa que valor Ω(t0) debemos medir, sería arbitrario cercano a 1, lo suficientemente pequeño t
Eso es cierto siempre y cuando el contenido de materia del universo tiene una ecuación de estado mayor que $-1/3$. Sin embargo, eso es exactamente el problema, ya que el contenido de materia tiende a dominar en el pasado, la relación de $\Omega_k/\Omega$ es llevado de forma dinámica a cero, incluso si $\vert\Omega_{k0}\vert > \vert\Omega_0\vert$ hoy en día. Esto significa que si queremos poner las condiciones iniciales en el pasado, tenemos que afinar $\Omega_{ki}$ a un valor muy pequeño para obtener el valor observado hoy, $\Omega_{k0} \approx 0$ (en el ejemplo anterior, para obtener el $\Omega_{k0} \approx 10^{-5}$ necesitamos $\Omega_{ki} \approx 10^{-15}$!).
Sin embargo, esto no es un problema per se. Lo que pasa es que tenemos una expectativa implícita de que las condiciones iniciales deben ser natural/común (tal vez un uso implícito de la Mediocridad principio) y la dinámica anterior muestra que sólo un muy estrecho intervalo de las posibles condiciones iniciales para $\Omega_{ki}$ podría explicar el estado actual del universo.
Finalmente, esto no tiene nada que ver con el tiempo de Planck o la gravedad cuántica, que problema tiene lugar incluso si usted elige poner condiciones iniciales en torno a la nucleosíntesis época.
- $\rho(t0)$ e $k$ puede ajustar de forma independiente. Por lo tanto aumento de la densidad de un poco no tiene ninguna influencia sobre el valor de $\Omega$ a todos (no sólo los cambios de $H$). Así que la declaración "la densidad de la materia ha de ser precisamente afinado para hacer que el universo (que) plano como medimos el día de hoy" no tiene ningún sentido, dado que la materia no afecta a la curvatura espacial
Eso no es cierto. Tiene el derecho de decir que si varía $\rho(t0)$ e $k$ independiente, un cambio en el valor de $\rho$ sería modificar el valor de $H$ (debido a la ecuación de Friedmann, que en realidad es una restringir la ecuación y no dinámico). Esto sin duda podría afectar a $\Omega$, para ver esto, podemos escribir la ecuación de Friedmann en términos de prohibido densidades:
$$E^2 = \bar{\Omega} + \bar\Omega_k,$$ remembering that $\bar\Omega \propto \rho$. Thus, a shift in $\rho$ is equivalent to a shift in $\bar\Omega$, then if our new density is given by $\bar\Omega \a \bar\Omega+\Delta$, then $E^2 \a E^2 + \Delta$ and consequently, $$\Omega = \frac{\bar\Omega}{E^2} \to \frac{\bar\Omega+\Delta}{E^2+\Delta}, \qquad \vert1-\Omega\vert \to \left\vert\frac{1-\Omega}{1+\Delta/E^2}\right\vert.$$
La cantidad de $1−\Omega(t)$ parece ser arbitraria. No podía yo también definir arbitrariamente $b(t)=ke^{−1/t}$? Ahora $b$ necesita incluso más pequeños que los $\Omega$ para las pequeñas $t$ si medimos $k$ a ser pequeño, hoy en dia. Crea esto, entonces, más grave es el problema de la llanura?
Esta cantidad no es arbitraria, es una consecuencia directa de la ecuación de Friedmann escrito en términos de $\Omega$ e $\Omega_k$, es decir, $\Omega + \Omega_k = 1$ (sí, esta es la ecuación de Friedmann). Esta expresión da la exacta relación entre el contenido de energía del universo y el valor absoluto de la curvatura espacial.
Así que en conclusión: no veo ningún problema mientras directa de las propiedades del universo como $a(t)$ no dependen de las condiciones iniciales $\rho(t0)$ e $k$ en un inestable.
Sí, que en realidad es una manera de enmarcar el problema. El plano de la solución es inestable, cualquier pequeña salida de un exacto plana solución conduce a una curvatura dominado la evolución en algún momento en el futuro (a menos que usted tiene un asunto de componentes con $w<-1/3$ , en cuyo caso sería domina en su lugar. El más famoso ejemplo de esto sería la constante cosmológica).