Bases para $\mathbb{Z}^2$

Question

Sea $x = (a, b), y = (c, d) \in \mathbb{Z}^2$ . ¿Cuál es la condición en $a, b, c, d$ para que ${x, y}$ ¿es una base?

Mi respuesta: $ad\neq bc$ y $gcd(a, c) = gcd(b, d) = 1$ .
La primera condición garantiza que no sean el mismo vector; la segunda garantiza que podamos realmente "get" todos los valores enteros/puntos de la red.
¿Es correcto?

Gracias.

Answer 1

Tiene una bella interpretación geométrica. Nota $\rm\, x,y\,$ es un $\rm\,\mathbb Z$ -base de $\rm\, \mathbb Z^2\,$ si $\rm\, \mathbb Z^2\,$ está embaldosado por el paralelogramo fundamental $\rm P$ con laterales $\rm\,x,y.\,$ Pero esto es cierto si los únicos puntos de la red que están dentro de $\rm P$ o en el límite de $\rm\,P\,$ son sus vértices. Sin embargo, por Fórmula del área de Pick, es cierto si

$$\rm\ area\ P =\text{ #interior_points } + \frac{1}2\text{ #boundary_points}- 1\, =\, 0 + \frac{4}2 - 1\, =\, 1\qquad$$

Pero por geometría analítica básica $\rm\, area\ P\, =\, |\det(x,y)|.\,$ Por lo tanto, combinando ambas, concluimos que $\rm\, x,y\,$ es un $\rm\,\mathbb Z$ -base de $\rm\, \mathbb Z^2\! \iff |\det(x,y)| = 1.$

De hecho, merece ser mucho más conocido que Pick aplicado originalmente su fórmula de área de manera similar para dar una hermosa prueba geométrica de la representación lineal de Bezout del gcd.

Answer 2

Si eso es una base, entonces puedes escribir $e_1=(1,0)$ y $e_2=(0,1)$ en términos de la base que utiliza coeficientes enteros. Esto implica que la matriz determinada por la base en invertible en $\mathbb Z$ . Esa es su condición. Se puede expresar claramente utilizando determinantes.

Answer 3

Para $(a, b)$ y $(c, d)$ para ser una base, deben ser linealmente independientes. En otras palabras,
$\det \begin{bmatrix} a &b \\ c& d \end{bmatrix}$ debe ser invertible. Sobre un campo, esto implicaría que $\det(A) \neq 0$ pero como estamos en $\mathbb{Z}$ necesitamos $\det(A) = \pm 1$ de modo que cada entrada de $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d &-b \\ -c& a \end{bmatrix}$ es un número entero.

Tenga en cuenta que $ad - bc = 1$ implica que $\gcd(a,c) = \gcd(b,d) = 1$ .