Hallar las variedades estable, inestable y central de un sistema no lineal

Question

Pregunta:

Considere el sistema

\begin{align} \frac{dx}{dt} & = x-xy \\ \frac{dy}{dt} & = 2x-3y+y^2 \end{align}

Hallar las variedades estable, inestable y central alrededor del origen $(0,0)$ hasta el término cúbico inclusive.

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Intento:

Así que primero, calculé la matriz Jacobiana para que fuera

$$J(x,y) = \begin{pmatrix} 1-y & -x \\ 2 & -3+2y \end{pmatrix}$$

Evaluado en el origen, se obtiene

$$J(0,0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$$

y los valores propios son $1$ y $-3$ lo que significa que el origen es una silla de montar (es decir, inestable).

Los vectores propios correspondientes son $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

...

...

y estoy atascado T_T . ¿Qué se supone que debo hacer desde aquí?

Cualquier sugerencia será muy apreciada.

...¿por favor?

Answer 1

Debido a la estructura de los vectores propios, al tener ambos un valor distinto de cero $y$ -componente, puede tomar $y$ como parámetro tanto para el colector estable próximo a $x=2y$ y el colector inestable próximo a $x=0$ . Ambas son, pues, soluciones de la EDO (singular) $$ \frac{dx}{dy}=\frac{\dot x}{\dot y}=\frac{x\,(1-y)}{2x3y+y^2} $$ con condición $\lim_{y\to 0}x(y)=0$ .

Múltiple inestable para el valor propio $\lambda=1$

Establecer $x=2y+yh(y)$ , $h(y)=o(y)$ e insertarlo en la ODE, \begin{align} 2+(yh(y))'=\frac{dx}{dy}&=\frac{(2+h(y))(1-y)}{1+2h(y)+y}, \\[.5em] (yh(y))'&=\frac{-4y-3h(y)-yh(y)}{1+2h(y)+y}. \end{align} Determina ahora el término de menor grado $h(y)=c_0y^r+...$ , $r>0$ de modo que obtenemos $$ c_0(1+r)y^r=-4y-3c_0y^r+o(y^{1+r}). $$ Para obtener grados mínimos iguales en ambos lados se necesita $r=1$ y así $5c_0=-4$ . Inserción de la serie de potencias $h(y)=y(c_0+c_1y+c_2y^2+...)$ los siguientes coeficientes vienen determinados por las ecuaciones \begin{align} y(2c_0+3c_1y+4c_2y^2+...)(1+(2c_0+1)y+2c_1y^2+...) &=-y(4+3c_0+(3c_1+c_0)y+(3c_2+c_1)y^2...)\\~\\ 3c_1+2c_0(2c_0+1)&=-(3c_1+c_0)\\ 4c_2+3c_1(2c_0+1)+4c_0c_1&=-(3c_2+c_1)\\ \end{align} para que \begin{alignat}1 c_1&=-\frac16(3c_0+4c_0^2)&&=-\frac1{30}c_0(-15+16)&=-\frac{2}{75}, \\ c_2&=-\frac17(4c_1+10c_0c_1)&&=-\frac1{57}c_1(-20+40)&=-\frac{8}{2125}. \end{alignat} Combinado esto da $$ x(y)=2y-\frac45y^2-\frac{2}{75}y^3-\frac8{525}y^4+... $$

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Múltiple estable para el valor propio $=-3$

La ecuación del colector estable $$ \frac{dx}{dy}=\frac{x\,(1-y)}{2x3y+y^2} $$ tiene la solución $x(y)=0$ y es la única solución tangente a la $y$ -Eje.