Clasificación de superficies

Question

La Clasificación Teorema de superficies dice que una compacta superficie conectada $M$ es homeomórficos a $$S^2\# (\#_{g}T^2)\# (\#_{b} D^2)\# (\#_{c} \mathbb{R}P^2),$$ so $g$ is the genus of the surface, $b$ the number of boundary components and $c$ el número de planos proyectivos.

A partir de ahí, es fácil de calcular, $\chi(M)=2-2g-b-c$.

Sin embargo, he leído otra declaración de La Clasificación Teorema que establece que una compacta superficie conectada está determinado por su orientability (sí/no), el número de componentes del borde y su característica de Euler.

No entiendo cómo es posible saber la descomposición de la $M$ conectado suma al saber que. Conociendo a $b$, todavía hay dos variables, $c$ e $g$ que tiene que ser conocido de $\chi(M)$, y orientability sólo nos dice si $c=0$ o $c\geq 1$. Alguien me puede ayudar, por favor?

Answer 1

Si leo correctamente usted está tratando de determinar $c$ e $g$, dado un compacto de superficie conectada $M$ de los que conozca $b$ el número de componentes del borde, $\chi(M)$ la característica de Euler de la y el si o el no $M$ es orientable.

Esto no se puede hacer de una manera única, como el conectado suma de tori y proyectiva plan es homeomórficos conectado a la suma de los tres planos proyectivos.

Por favor me corrija si he entendido tu pregunta.

Answer 2

Desde $\mathbb{R}P^2\# \mathbb{R}P^2\#\mathbb{R}P^2\cong \mathbb{R}P^2 \# T^2$, $c$ e $g$ no se determina únicamente: si $c\geq 3$, se puede restar $2$ de $c$ y agregar $1$ a $g$ y obtener la superficie de la misma, o si $c,g\geq 1$, se puede restar $1$ de $g$ y agregar $2$ a $c$.

Nota, sin embargo, que la primera operación siempre se puede utilizar para obtener un conectada suma de presentación donde $c\leq 2$. Si imponemos la restricción adicional de que $c\leq 2$, a continuación, $c$ e $g$ puede ser determinada únicamente y puede ser calculado a partir de los datos que usted menciona. Si la superficie es orientable, entonces $c=0$ y, a continuación, sólo puede resolver por $g$. Si la superficie no orientable, entonces usted puede determinar si $c=1$ o $c=2$ desde $c$ debe tener la misma paridad como $\chi(M)+b$. Una vez $c$ es determinado, usted puede resolver por $g$.