Dejemos que $R$ sea un dominio integral y $I$ un ideal proyectivo. Entonces $I$ se genera finitamente como un $R$ -módulo.
Esto parece que debería ser fácil pero no sé qué argumentar, ni dónde meter la condición de dominio integral.
Intenté localizar en un primer $P$ que contiene $I$ y obtenemos que $I_P\subseteq PR_P\subseteq R_P$ es un proyectivo $R_P$ módulo. Entonces, si $0\to I_P\to R_P\to R_P/I_P\to 0$ es corto exacto, ya que los módulos proyectivos son planos, podemos tensor con $I_P$ y el último término es $0$ . Pero hay un resultado que si $M$ es un módulo plano sobre un anillo, entonces si $J$ es un ideal, entonces $J\otimes M\cong JM$ . Por lo tanto, $I_P^2\cong I_P\otimes I_P\cong R_P\otimes I_P\cong I_P$ .
Pero si $I$ Por lo tanto $I_P$ fueran generados finitamente, entonces eso no significaría $I\subseteq I_P=0$ por Nakayama?
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¿Está seguro de que $I_p^2\simeq I_p\otimes I_p$ ?
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$I_P^{2}$ no es lo mismo que $I_P \otimes_{R_P} I_P$ . Cuando se tensa la secuencia exacta corta $0 \to I_P \to R_P \to R_P / I_P \to 0$ con $I_P$ , se obtiene $0 \to I_P \to I_P \to 0 \to 0$ y, por tanto, no es de extrañar que $I_P = I_P$ .
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La localización parece una buena idea. Para cada primicia $p$ El ideal es $I_p$ es un ideal proyectivo para el anillo local $R_p$ pero todo proyectivo sobre un anillo local es libre --- así que $I_p$ es un ideal libre, por lo que tiene que ser principal, en particular es de generación finita. Así, $I$ es localmente finitamente generada, lo que implica que $I$ es de generación finita, ¿no es así? Tal vez la hipótesis de dominio se utiliza para obtener $R\subseteq R_p$ ?
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Pero si un módulo $M$ sobre un anillo es plano, entonces para cada ideal del anillo tenemos un isomorfismo $M\otimes I\cong IM$ . Aplicando esto a $M=I$ obtenemos $I^2\cong I\otimes I$
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@Ehsaan Veo que los proyectivos sobre anillos locales son libres, aunque parece que es un resultado profundo de Kaplansky (y no está cubierto por mi curso de conferencias - sólo se cubren los proyectivos finitamente generados sobre anillos locales son libres). ¿Quizás haya una forma más sencilla? En cualquier caso, tienes razón y funciona. Sin embargo, todavía estoy confundido acerca de la $I^2=I\otimes I$ negocio, ya que $I$ es proyectiva y por lo tanto plana y el resultado que he citado es de las curvas algebraicas de Liu
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Compruebe que la generación local finita implica la generación finita. Ahora mismo sólo puedo encontrar que si $M_f$ es de generación finita para un conjunto finito de $f$ generando el ideal unitario, entonces $M$ es de generación finita; no encuentro una versión para $M_p$ donde $p$ es primordial, pero me parece que lo he visto antes en Eisenbud.
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@AdamHiggins tensor la inyección $I\hookrightarrow R$ con $I$ . Desde $I$ es proyectiva, por tanto plana, entonces obtenemos una inyección $I\otimes I\hookrightarrow R\otimes I\cong I$ . Pero la imagen del mapa canónico es precisamente $I^2$ Así que $I\otimes I\cong I^2$ .
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@Ehsaan localmente generada finitamente no suele implicar generada finitamente. Puedes encontrar contraejemplos en cualquier producto infinito de campos.