Cubriendo conjuntos nulos por un número finito de intervalos

Question

Digamos que es un subconjunto $A$ de $\mathbb R$ tiene la propiedad $P$ si todos los $\epsilon>0$ no es una colección finita de intervalos abiertos $(a_1,b_1),(a_2,b_2),\cdots,(a_n,b_n)$ tal que $A \subset \cup_i (a_i,b_i)$ e $\sum (b_i-a_i) <\epsilon$. Mi pregunta: si $A$ es un lugar denso conjunto con medida $0$ tiene la propiedad de $P$?

Algunos conceptos básicos: cada conjunto compacto de medida $0$ (obviamente) tiene la propiedad $P$. No denso conjunto de medida $0$ puede tener la propiedad $P$. Más generalmente, si $A$ tiene la propiedad $P$ entonces $A$ es denso en ninguna parte. Prueba: si $(\alpha,\beta) \subset \overset {-} {A}$ tome $\epsilon <\beta -\alpha$. Si $A \subset \cup_i (a_i,b_i)$ e $\sum (b_i-a_i) <\epsilon$ entonces $(\alpha,\beta) \subset \cup_i [a_i,b_i]$ lo $\beta -\alpha <\epsilon$, una contradicción. Mi pregunta es si cada nada denso conjunto de medida $0$ tiene la propiedad $P$. Supongo que la implicación no se sostiene, pero no tengo un contraejemplo.

Answer 1

Para un ejemplo de un delimitada nada denso conjunto de medida cero, que no tiene su propiedad $P$, vamos a $F$ ser un compacto de la nada denso conjunto de medida positiva (una grasa conjunto de Cantor), y deje $A$ ser una contables subconjunto denso de $F$.

De hecho, es fácil ver que un conjunto $A\subseteq\mathbb R$ tiene la propiedad $P$ si y sólo el cierre de $A$ es un compacto conjunto de medida cero.

Answer 2

El conjunto $\mathbb Z$ tiene la medida $0$ y en ningún lugar es denso. Sin embargo, la propiedad $P$ no se mantiene para $\mathbb Z$ .