Correlación: si se correlacionan$Z^2$ s, ¿no implica que se correlacionan$Z$ s?

Question

Leí en mi diapositiva de la conferencia que si $Z^2$ s están correlacionados, no implica que $Z$ s estén correlacionados, pero no lo entiendo. Cualquier ejemplo será bienvenido.

Answer 1

Vamos

• $X$ ser una variable aleatoria normal estándar con distribución $\mathcal N(0,1)$,
• $Y$ ser independiente otra variable aleatoria normal estándar y
• $Z=\text{sign}(Y) \, |X|$, también una variable aleatoria normal estándar

A continuación, $X^2=Z^2$, así que con la correlación de $1$ entre ellos, sino $X$ e $Z$ están correlacionados con la correlación de $0$ entre ellos (a pesar de que no son independientes desde $|X|=|Z|$)

mientras $Y^2$ e $Z^2$ son independientes, por lo que no guardan relación con la correlación de $0$ entre ellos, sino $Y$ e $Z$ se correlacionan con la correlación de $\frac{2}{\pi} \approx 0.6366$ entre ellos